Аннотация: Одна из основных проблем для гамильтониана модели Изинга~--- это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Известно, что для модели Изинга такие меры образуют непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер. Задача полного описания элементов этого множества далека от своего завершения. Для модели Изинга на дереве Кэли порядка три были изучены трансляционно-инвариантные и периодические меры Гиббса, но слабо периодические меры Гиббса не были изучены. Отметим, что всякая периодическая мера Гиббса также является слабо периодической, но обратное неверно. Поэтому интересно изучать слабо периодические меры Гиббса, не являющиеся периодическими. Работа посвящена изучению слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три (\(k=3\)). Известно, что слабо периодическая мера Гиббса для модели Изинга зависеть от выбора нормального делителя группового представления дерева Кэли. В данной работе рассматривается один из нормальных делителей индекса четыре группового представления дерева Кэли. Относительно этого нормального делителя доказано существование слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три. Точнее, доказано, что при некоторых условиях на параметры существуют не менее 4 слабо периодических (не периодических) мер Гиббса.
Ключевые слова: дерево Кэли, мера Гиббса, модель Изинга, слабо периодическая мера
Образец цитирования: Рахматуллаев М. М., Дехконов Ж. Д. Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 4. С.77-88. DOI 10.46698/h4964-7674-7067-w
1. Rozikov U. A. Gibbs Measures on Cayley Trees. World Scintific, 2013. 385 p.
DOI: 10.1142/8841.
2. Блехер П. М., Ганиходжаев Н. Н. О чистых фазах модели Изинга на решетках Бете //
Теория вероятн. и ее примен. 1990. Т 35, № 2. С. 220 230.
3. Spitzer F. Markov random field on infinite tree //
Ann. Probab. 1975. Vol. 3, № 3. P. 387-398. DOI: 10.1214/aop/1176996347.
4. Zachary S. Countable state space Markov random fields and
Markov chains on trees // Ann. Probab. 1983. Vol. 11, № 4. P. 894-903.
DOI: 10.1214/aop/1176993439.
5. Розиков У. А. Структуры разбиений на классы смежности группового представления
дерева Кэли по нормальным делителям конечного индекса и их применения для описания
периодических распределений Гиббса // Теор. и мат. физика. 1997.
Т. 112, № 1. С. 170-175. DOI: 10.4213/tmf1037.
6. Розиков У. А. Построение несчетного числа предельных гиббсовских мер
неоднородной модели Изинга // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 118, № 1. С. 95-104.
DOI: 10.4213/tmf688.
7. Rozikov U. A, Suhov Yu. M. Gibbs measures for SOS model on a Cayley tree //
Inf. Dim. Anal. Quant. Prob. Rel. Topics.-2006. Vol. 9,
№ 3. P. 471-488. DOI: 10.1142/S0219025706002494.
8. Martin J. B, Rozikov U. A, Suhov Yu. M. A three state hard-core model on a Cayley tree //
J. Nonlinear Math. Phys. 2005. Vol. 12, № 3. P. 432-448. DOI: 10.2991/jnmp.2005.12.3.7.
9. Розиков У. А. Описание предельных гиббсовских мер для \(\lambda\)-моделей на решетках
Бете // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 427-435.
10. Mukhamedov F. M., Rozikov U. A. On Gibbs measures of models with competing ternary and binary
interactions and corresponding von Neumann algebras // J. Stat. Phys.-2004. Vol. 114, № 3/4. P. 825-848.
DOI: 10.1023/B:JOSS.0000012509.10642.83.
11. Gandolfo D., Ruiz J., Shlosman S. A manifold of pure Gibbs states of the Ising model on a Cayley tree //
J. Stat. Phys. 2012. Vol. 148, № 6. P. 999-1005. DOI: 10.1007/s10955-012-0574-y.
12. Малышев В. А, Минлос Р. А. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука, 1985. 288 с.
13. Рюэль Д. Статистическая механика. М.: Мир, 1971. 368 с.
14. de Jongh L. J., Miedema A. R. Experiments on simple magnetic model systems //
Adv. Phys. 1974. Vol. 23, № 1. P. 1-260. DOI: 10.1080/00018739700101558.
15. Фейман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1978. 412 с.
16. Розиков У. А., Рахматуллаев М. М. Описание слабо периодических мер
Гиббса модели Изинга на дереве Кэли // Теор. и мат. физика.-2008. Т. 156, № 2. С. 292-302.
DOI: 10.4213/tmf6248.
17. Рахматуллаев М. М. О новых слабо периодических гиббсовских мерах
модели Изинга на дереве Кэли // Изв. вузов. Мат.-2015. № 11. С. 54-63.
18. Rahmatullaev М. М. On new weakly periodic Gibbs measures of the Ising
model on the Cayley tree of order \(k\leq 5\) // J. Phys. Conf. Ser.-2016. Vol. 697.
DOI: 10.1088/1742-6596/697/1/012020.
19. Рахматуллаев М. М. О слабо периодических мерах Гиббса модели Изинга
с внешним полем на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. 2015. Т. 183, № 3. С. 434-440.
DOI: 10.4213/tmf8796.
20. Рахматуллаев М. М. Существование слабо периодических мер Гиббса
для модели Поттса на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. 2014.
Т. 180, № 3. С. 307-317. DOI: 10.4213/tmf8647.
21. Рахматуллаев М. М. Слабо периодических мер Гиббса для ферромагнитной
модели Поттса на дереве Кэли // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 5. С. 1163-1170.
DOI: 10.17377/smzh.2015.56.515.
22. Норматов Э. П., Розиков У. А. Описание гармонических функций с применением
свойств группового представления дерева Кэли // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 3. С. 434-443.
DOI: 10.4213/ mzm2712.
23. Рахматуллаев М. М., Дехконов Ж. Д. Слабо периодические меры Гиббса для модели Изинга
на дереве Кэли порядка \(k=2\) // Теор. и мат. физика. 2021. Т. 206, № 2. С. 210-224.
DOI: 10.4213/ tmf9970.
