Аннотация: Категория метрических пространств является подкатегорией квазиметрических пространств. Показано, что энтропия отображения в пространстве с условиями симметричности больше или равна энтропии того случая, когда условия симметричности не предполагаются. Топологическая энтропия и энтропия Шеннона имеют схожие свойства такие, как неотрицательность, субаддитивность и снижение условной энтропии. Другими словами, топологическая энтропия рассматривается как расширение классической энтропии в динамических системах. В последнее десятилетие были введены различные обобщения энтропии Шеннона. Одной из них, обобщающей многие классические виды энтропии, является унифицированная \((r,s)\)-энтропия. В данной работе понятие унифицированной \((r,s)\)-энтропии распространяется на непрерывные отображения в квазиметрических пространствах посредством связующих и разделяющих множеств. Далее, рассматривается унифицирующая \((r, s)\)-энтропия отображения в двух метрических пространствах, ассоциированных с квазиметрическим пространством и сравниваются унифицированные \((r, s)\)-энтропии отображения в данном квазиметрическом пространстве и в ассоциированных метрических пространствах. Наконец, определяется топологическая энтропия Цаллиса для непрерывных отображений в квазиметрических пространствах посредствм определения Бовена и изучаются некоторые свойства, такие как цепное правило.
Ключевые слова: энтропия Цаллиса, топологическая энтропия Цаллиса, квазиметрическое пространство
Образец цитирования: Kazemi, R., Miri, M. R. and Mohtashami Borzadaran, G. R. Topological Unified \((r, s)\)-Entropy of Continuous Maps on Quasi-Metric Spaces // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 4. C.56-67 (in English). DOI 10.46698/p8176-1984-8872-z
1. Shannon, C. E. A Mathematical Theory of Communication, ACM SIGMOBILE Mobile Computing and Communications Review, 2001, no. 1, pp. 3-55. DOI: 10.2307/3611062.
2. Renyi, A. On Measures of Entropy and Information, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary, 1961.
3. Tsallis, C. Possible Generalization of Boltzmann-Gibbs Statistics, Journal of Statistical Physics, 1988, vol. 52, no. 1-2, pp. 479-487. DOI: 10.1007/BF01016429.
4. Rathie, P. N. and Taneja, I. J. Unified $(r, s)$-Entropy and its Bivariate Measures, Information Sciences, 1991, vol. 54, no. 1-2, pp. 23-39. DOI:10.1016/0020-0255(91)90043-T.
5. Rastegin, A. E. Some General Properties of Unified Entropies, Journal of Statistical Physics, 2011, vol. 143, no. 6, no. 1120-1135. DOI: 10.1007/s10955-011-0231-x.
6. Rastegin, A. E. On Unified-Entropy Characterization of Quantum Channels, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2011, vol. 45, no. 4, pp. 45302. DOI: 10.1088/1751-8113/45/4/045302.
7. Kolmogorov, A. N. A New Metric Invariant of Transient Dynamical Systems and Automorphisms in Lebesgue Spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, vol. 119, no. 5, pp. 861-864.
8. Sinai, Y. G. On the Notion of Entropy of a Dynamical System, Doklady of Russian Academy of Sciences, 1959, vol. 124, no. 3, pp. 768-771.
9. Adle, R., Konheim, A. and McAndrew, M. H. Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society, 1965,
vol. 114, no. 2, pp. 309-319. DOI: 10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9.
10. Bowen, R. Entropy for Group Endomorphisms and Homogeneous Spaces, Transactions of the American Mathematical Society, 1971, vol. 153, pp. 401-414. DOI: 10.1090/S0002-9947-1971-0274707-X.
11. Dinaburg, E. I. A Correlation Between Topological Entropy and Metric Entropy. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1970, vol. 190, no. 1, pp. 19-22.
12. Kazemi, R. Miri, M. R., and Mohtashami Borzadaran G. M., Topological Unified \((r, s)\)-Entropy. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, vol. 541, Article 123657. DOI: 10.1016/j.physa.2019.123657.
13. Stolenberg, R. A. A Completion for a Quasi Uniform Space, Proc. Amer. Math. Soc., 1967, vol. 18, pp. 864-867. DOI: 10.1090/S0002-9939-1967-0215282-X.
14. Stoltenberg, R. A. On Quasi-Metric Spaces, Duke Math. J., 1969, vol. 36, pp. 65-71. DOI: 10.1215/S0012-7094-69-03610-2.
15. Sayyari, Y., Molaei, M. and Moghayer, S. M. Entropy of Continuous Maps on Quasi-Metric Spaces, Journal of Advanced Research in Dynamical and Control Systems, 2015, vol. 7, no. 4, pp. 1-10.
16. Havrda, J. and Charvat, F. Quantification Method of Classification Processes. Concept of Structural \(a\)-Entropy, Kybernetika, 1967, vol. 3, no. 1, pp. 30-35.
17. Sharma, B. D. and Mittal, D. P. New non-Additive Measures of Entropy for
280 Discrete Probability Distributions, J. Math. Sci., 1975, vol. 10, pp. 28-40. DOI: 10.6092/issn.1973-2201/6621.
