Аннотация: Пусть \(\mathcal{M}\) и \(\mathcal{N}\) - многообразия, \({\mathcal{D}}\) - область в \(\mathcal{M}\) и \(E \subset \mathcal{D}\) - замкнутое относительно \(\mathcal{D}\) множество. Проблема стирания особенностей состоит в следующем: найти условия, при которых любое отображение \(f :\mathcal{D}\setminus E \rightarrow \mathcal{N}\) из заданного класса можно продолжить до отображения \(\mathbf{f }:\mathcal{D} \rightarrow \mathcal{N}\) с сохранением класса. Если указанное продолжение существует, то множество \(E\) называют устранимым множеством в рассматриваемом классе отображений. Целью данной работы является исследование проблемы стирания особенностей в контексте свойств ядра локального преобразования Помпейю. Изучается класс \(\mathfrak{K}_{+}\), состоящий из непрерывных функций на комплексной плоскости \( \mathbb{C}\), имеющих нулевые интегралы по всем кругам из \(\mathbb{C}\), конгруэнтным единичному кругу относительно сферической метрики. Аналогом группы евклидовых движений в этом случае является группа дробно-линейных преобразований \(\mathrm{PSU}(2)\). Найдено точное условие, при котором функции рассматриваемого класса, доопределенные соответствующим образом в бесконечно удаленной точке, обладают указанным свойством на расширенной комплексной плоскости \( \overline{\mathbb{C}}\). Доказательство основного результата базируется на подходящем описании класса \(\mathfrak{K}_{+}\). Центральным инструментом в этом описании являются ряды Фурье по сферическим гармоникам. Показано, что коэффициенты Фурье функции \(f\in\mathfrak{K}_{+}\) представимы рядами по функциям Якоби. Дальнейшее доказательство состоит в изучении асимптотического поведения указанных рядов при подходе к особой точке. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных со сферическими средними.
Ключевые слова: преобразование Помпейю, сферические средние, функции Якоби
Образец цитирования: Волчкова Н. П., Волчков Вит. В., Ищенко Н. А. Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругам // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 2. С. 19-33.
DOI 10.46698/u3425-9673-4629-c
1. Pompeiu D. Sur une propriete integrale des fonctions de deux variables reeles // Bull. Cl. Sci. Acad. Royale de Belgique (5). 1929. Vol. 15. P. 265-269.
2. Chakalov L. Sur un probleme de D. Pompeiu // Annuaire [Godisnik] Univ. Sofia Fac.
Phys.-Math., Livre 1. 1944. Vol. 40. P. 1-44.
3. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser
Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 1917. Vol. 69. P. 262-277.
4. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric
Spaces. Basel: Birkhauser, 2013. 592 p.
DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.
5. Volchkov V. V. Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 2003. xii+454 p.
DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.
6. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem //
Approximation by Solutions of Partial
Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1992. P. 185-194.
DOI: 10.1007/978-94-011-2436-2\_17.
7. Беренстейн К. А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках //
Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 54. С. 5-111.
8. Zalcman L. Supplementary bibliography to ``A bibliographic survey of the Pompeiu problem'' // Contemp. Math. Radon Transform and Tomography. 2001. Vol. 278. P. 69-74.
DOI: 10.1090/conm/ 278/04595.
9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions
on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London: Springer, 2009. 672 p.
10. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным
уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. 158 с.
11. Smith J. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in \(\mathbb R^n\) //
Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 1972. Vol. 72, № 3. P. 403-416.
DOI: 10.1017/s0305004100047241.
12. Rawat R., Sitaram A. The injectivity of
the Pompeiu transform and \(L^p\)-analogues of the Wiener Tauberian theorem //
Israel J. Math. 1995. Vol. 91. P. 307-316.
DOI: 10.1007/BF02761653.
13. Thangavelu S. Spherical means and \(\mathrm{CR}\) functions on the Heisenberg group //
J. Analyse Math. 1994. Vol. 63, № 1. P. 255-286.
DOI: 10.1007/BF03008426.
14. Ungar P. Freak theorem about functions on a sphere //
J. London Math. Soc. 1954. Vol. s1-29, № 1. P. 100-103.
DOI: 10.1112/jlms/s1-29.1.100.
15. Schneider R. Functions on a sphere with vanishing integrals over certain subspheres //
J. Math. Anal. Appl. 1969. Vol. 26, № 2. P. 381-384.
DOI: 10.1016/0022-247X(69)90160-7.
16. Delsarte J. Note sur une propri{et{e nouvelle des fonctions harmoniques //
C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B. 1958. Vol. 246. P. 1358-1360.
17. Netuka I., Vesely J. Mean value property and harmonic functions //
Classical and Modern Potential Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994. P. 359-398.
18. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций //
Мат. сб. 1997. Т. 188, № 9. С. 13-30. DOI: 10.4213/sm255.
19. Berenstein C. A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform //
J. Analyse Math. 1990. Vol. 54, № 1. P. 259-287. DOI: 10.1007/bf02796152.
20. Berkani M., Harchaoui M. El., Gay R. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans
l{'espace hyperbolique quaternique Cas des deux boules //
Complex Variables, Theory and Application: An International Journal. 2000. Vol. 43, № 1. P. 29-57.
DOI: 10.1080/17476930008815300.
21. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватернионном
гиперболическом пространстве // Докл. РАН. 2001. Т. 379, № 5. С. 587-590.
22. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на
кватернионном гиперболическом пространстве //
Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, № 5. С. 169-197.
23. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Интерполяционные задачи для функций
с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса //
Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 490, № 1. С. 20-23.
DOI: 10.31857/S268695432001021X.
24. Постников М. М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986. 416 с.
25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция.
Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
26. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные
главы. М.: Наука, 1986. 800 c.
27. Волчков Вит. В. О функциях с нулевыми шаровыми средними на компактных
двухточечно-однородных пространствах // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 4. С. 21-46.
DOI: 10.4213/sm1440.
