Аннотация: В рамках данной работы исследована краевая задача со смещением для неоднородного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка, когда в качестве одного из граничных условий задана линейная комбинация значений искомой функции на независимых характеристиках. В работе получены следующие результаты: показано неравноправие характеристик \(AC\) и \(BC\), ограничивающих гиперболическую часть \(\Omega _{1}\) области \(\Omega\), как носителей данных задачи Трикоми при \(0\le x\le \pi n\), \(n\in \mathbb{N}\). Из разрешимости задачи Трикоми с данными на характеристике \(BC\) в этом случае, вообще говоря, не следует разрешимость задачи Трикоми с данными на характеристике \(AC\); найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности регулярного решения исследуемой задачи. При определенных условиях на заданные функции, решение исследуемой задачи выписано в явном виде. Показано, что при нарушении найденных в работе необходимых условий на заданные функции, однородная задача, соответствующая исследуемой задаче имеет бесчисленное множество линейно независимых решений, а множество решений соответствующей неоднородной задачи может существовать только при дополнительном требовании на заданные функции.
Ключевые слова: уравнение параболо-гиперболического типа, уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, неоднородное волновое уравнение, задача Трикоми, задача со смещением, метод Трикоми, метод функции Грина, метод интегральных уравнений
Образец цитирования: Балкизов Ж. А., Езаова А. Г., Канукоева Л. В. Краевая задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 2. С. 5-18.
DOI 10.46698/d3710-0726-7542-i
1. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного
и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. 239 с.
2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая ш кола, 1995. 301 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
4. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями
на обеих характеристиках и с разрывами на линии перехода //
Ученые зап. Казанского ун-та. 1962. Т. 122, кн. 3. С. 3-16.
5. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений
и уравнений смешанного типа // Диф. уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
6. Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, № 4. С. 736-739.
7. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Диф. уравнения. 1971. Т. 7, № 1. С. 49-56.
8. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 208 с.
9. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.
10. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. 156 с.
11. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типа. Самара: Изд-во Самарского филиала Саратовского гос. ун-та, 1992. 161 с.
12. Кальменов Т. Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: Гылая, 1993. 328 с.
13. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. об-во, 2001. 226 с.
14. Репин О. А., Килбас А. А., Маричев О. И. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самарского гос. эконом. ун-та, 2008. 275 с.
15. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Изд-во Самарского ун-та, 2012. 194 с.
16. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа. М.: Физматлит, 2014. 304 с.
17. Сабитов К. Б. Прямые и обратные задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Уфа: Гилем, 2015. 240 с.
18. Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов
дифференциальных уравнений. Нальчик: КБНЦ РАН, 2011. 196 с.
19. Езаова А. Г., Лесев В. Н., Кожанов А. И. Нелокальная задача с дробными производными для уравнения третьего порядка // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 1. С. 14-22. DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27243.
20. Балкизов Ж. А. Краевая задача со смещением для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018, № 3 (23). C. 19-26. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-19-26.
21. Балкизов Ж. А. Об одной краевой задаче типа задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с тремя смещениями в гиперболической части области // Науч. ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2019. Т. 51, № 1. С. 5-14. DOI: 10.18413/2075-4639-2019-51-1-5-14.
22. Balkizov Zh. A. On a boundary value problem for a third-order parabolic-hyperbolic type equation with a displacement boundary condition in its hyperbolicity domain // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 2. С. 211-225.
DOI: 10.14498/vsgtu1694.
23. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка // Вестн. Дагестанского гос. ун-та. Сер. 1. Естеств. науки. 2020. Т. 35, № 1. С. 13-20. DOI: 10.21779/2542-0321-2020-35-1-13-20.
24. Езаова А. Г. Однозначная разрешимость одной задачи типа задачи Бицадзе Самарского для уравнения с разрывными коэффициентами // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, вып. 4. С. 50-58. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23387.
25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
