Аннотация: Так называемые гранд-пространства в настоящее время являются одним из основных объектов в теории функциональных пространств.
Гранд-пространства Лебега были введены в работах T. Iwaniec и C. Sbordone в случае множеств \(\Omega\) конечной меры \(|\Omega|<\infty\), и авторами в случае \(|\Omega|=\infty\).\linebreak\eject\noindent Последнее основано на введении понятия грандизатора.
Идея <<грандизации>> была также применена в контексте пространств Морри. В этой статье мы развиваем идею грандизации до более общих пространств Морри \(L^{p,q,w}(\mathbb{R}^n)\), известных как пространства типа Морри.
Мы вводим гранд-пространства типа Морри, что включает смешанные и частные гранд версии таких пространств.
Смешанное гранд-пространство определяется нормой
\(
\sup_{\varepsilon,\delta}\varphi(\varepsilon,\delta)
\sup_{x\in E}\left(\int\limits_{0}^{\infty}{w(r)^{q-\delta}}b(r)^{\frac{\delta}{q}}
\left(\,\int\limits_{|x-y|<r}\big|f(y)\big|^{p-\varepsilon}a(y)^{\frac{\varepsilon}{p}}\,
dy\right)^{\frac{q-\delta}{p-\varepsilon}}\frac{dr}{r}\right)^{\frac{1}{q-\varepsilon}}
\)
с использованием двух грандизаторов \(a\) и \(b\).
В случае гранд-пространств, частных относительно показателя \(q\), мы изучаем ограниченность некоторых интегральных операторов. Класс этих операторов содержит, в частности, многомерные версии операторов типа Харди и операторов Гильберта.
Ключевые слова: пространство типа Морри, гранд-пространство, гранд-пространство типа Морри, грандизатор, частная грандизация, смешанная грандизация, однородное ядро, оператор типа Харди, оператор Гильберта
1. Iwaniec, T. and Sbordone, C. On the Integrability of the Jacobian under Minimal Hypotheses,
Archive for Rational Mechanics and Analysis,
1992, vol. 119, no. 2, pp. 129-143.
DOI: 10.1007/BF00375119.
2. Fiorenza, A., Gupta, B. and Jain, P. The Maximal Theorem in Weighted Grand Lebesgue Spaces,
Studia Mathematica,
2008, vol. 188, no. 2, pp. 123-133.
DOI: 10.4064/sm188-2-2.
3. Greco, L., Iwaniec, T., and Sbordone, C. Inverting the \(p\)-Harmonic Operator,
Manuscripta Mathematica, 1997, vol. 92, no. 1, pp. 249-258.
DOI: 10.1007/BF02678192.
4. Jain, P., Singh, A. P., Singh, M. and Stepanov, V. Sawyer's Duality Principle for Grand Lebesgue Spaces,
Mathematische Nachrichten, 2018, vol. 292, no. 4, pp. 841-849.
DOI: 10.1002/mana.201700312.
5. Kokilashvili, V. and Meskhi, A. A Note on the Boundedness of the Hilbert Transform
in Weighted Grand Lebesgue Spaces, Georgian Mathematical Journal,
2009, vol. 16, no. 3, pp. 547-551.
6. Samko, S. G. and Umarkhadzhiev, S. M.
On Iwaniec-Sbordone Spaces on Sets which May Have Infinite Measure,
Azerbaijan Journal of Mathematics,
2011, vol. 1, no. 1, pp. 67-84.
7. Samko, S. G. and Umarkhadzhiev, S. M. On Iwaniec-Sbordone Spaces on Sets which
May Have Infinite Measure: Addendum, Azerbaijan Journal of Mathematics,
2011, vol. 1, no. 2, pp. 143-144, .
8. Samko, S. G. and Umarkhadzhiev, S. M. Riesz Fractional Integrals in Grand Lebesgue Spaces on \(\mathbb{R_n}\),
Fractional Calculus and Applied Analysis, 2016, vol. 19, no. 3, pp. 608-624.
DOI: 10.1515/fca-2016-0033.
9. Samko, S. G. and Umarkhadzhiev, S. M. On Grand Lebesgue Spaces on Sets of Infinite Measure,
Mathematische Nachrichten, 2017, vol. 290, no. 5-6, pp. 913-919.
DOI: 10.1002/mana.201600136.
10. Umarkhadzhiev, S. M. Generalization of the Notion of Grand Lebesgue Space,
Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 4, pp. 35-43.
DOI: 10.3103/S1066369X14040057.
11. Kokilashvili, V., Meskhi, A. and Rafeiro, H. Riesz Type Potential Operators
in Generalized Grand Morrey Spaces, Georgian Mathematical Journal,
2013, vol. 20, no. 1, pp. 43-64,.
DOI: 10.1515/gmj-2013-0009.
12. Meskhi, A. Maximal Functions, Potentials and Singular Integrals in Grand Morrey Spaces,
Complex Variables and Elliptic Equations,
2011, vol. 56, no. 10-11, pp. 1003-1019.
DOI: 10.1080/17476933.2010.534793.
13. Rafeiro, H. A Note on Boundedness of Operators in Grand Grand Morrey Spaces,
Advances in Harmonic Analysis and Operator Theory,
eds. A. Almeida, L. Castro and F.-O. Speck,
Basel, Springer, 2013, vol. 229, pp. 349-356.
DOI: 10.1007/978-3-0348-0516-2-19.
14. Umarkhadzhiev, S. M. The boundedness of the Riesz Potential Operator from Generalized
Grand Lebesgue Spaces to Generalized Grand Morrey Spaces,
Operator Theory, Operator Algebras and Applications,
Basel, Birkhauser-Springer, 2014, pp. 363-373.
DOI: 10.1007/978-3-0348-0816-3-22.
15. Guliyev, V. Integral Operators on Function Spaces
on Homogeneous Groups and on Domains in \(R^n\),
PhD Thesis, Doctor's Degree, Moscow, Steklov Math. Inst., 1994,
329 p. (in Russian).
16. Guliyev, V. Function Spaces, Integral Operators and Two Weighted
Inequalities on Homogeneous Groups. Some Applications,
Baku, 1999, 332 p. (in Russian).
17. Adams, D. R. Lectures on \(L^p\)-Potential Theory,
Umea University Reports, 1981, no. 2.
18. Burenkov, V. I. and Guliyev, H. Necessary and Sufficientconditions for Boundedness
of the Maximal Operator in Local Morrey-Type Spaces,
Studia Mathematica,
2004, vol. 163, no. 2, pp. 157-176.
DOI: 10.4064/sm163-2-4.
19. Gogatishvili, A. and Mustafayev, R. Dual Spaces of Local Morrey-Type Spaces,
Czechoslovak Mathematical Journal,
2011, vol. 61, no. 3, pp. 609-622.
DOI: 10.1007/s10587-011-0034-x.
20. Burenkov, V. I. Recent Progress in Studying the Boundedness of Classical Operators
of Real Analysis in General Morrey-Type Spaces. I,
Eurasian Mathematical Journal,
2012, vol. 3, no. 3, pp. 11-32.
21. Burenkov, V. I. Recent Progress in Studying the Boundedness of Classical
Operators of Real Analysis in General Morrey-Type Spaces. II,
Eurasian Mathematical Journal,
2013, vol. 4, no. 1, pp. 21-45.
22. Rafeiro, H., Samko, N. and Samko, S. Morrey-Campanato Spaces: an Overview,
Operator Theory, Pseudo-Differential Equations, and Mathematical Physics,
eds. Y. Karlovich, L. Rodino, B. Silbermann, and I. Spitkovsky,
2013, Basel, Springer, vol. 228, pp. 293-323.
DOI: 10.1007/978-3-0348-0537-7_15.
23. Samko, N. G. Integral Operators Commuting with Dilations
and Rotations in Generalized Morrey-Type Spaces,
Mathematical Methods in the Applied Sciences,
2020, vol. 43, no. 16, pp. 9416-9434.
DOI: 10.1002/mma.6279.
24. Umarkhadzhiev, S. M. Integral Operators with Homogeneous Kernels in Grand Lebesgue Spaces,
Mathematical Notes, 2017, vol. 102, no. 5-6, pp. 710-721.
DOI: 10.1134/S0001434617110104.
25. Kokilashvili, V. and Meskhi, A. Weighted Sobolev Inequality in Grand Mixed Norm Lebesgue Spaces,
Positivity, 2020. DOI: 10.1007/s11117-020-00764-8.
