Аннотация: В прямоугольной области исследуется нелокальная краевая задача для одномерного по пространственной переменной нагруженного уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной на границе теплоемкостью, выступающего в качестве математической модели, возникающего, в частности, в практике регулирования солевого режима почв с фрактальной организацией, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности, затопленного на некоторое время участка. Основным методом исследования является метод энергетических неравенств. При предположении существования регулярного решения дифференциальной задачи получена априорная оценка, откуда следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. На равномерной сетке в соответствие дифференциальной задаче ставится разностная схема второго порядка аппроксимации по параметрам сетки. Для решения разностной задачи получена априорная оценка в разностной форме, из чего следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. В силу линейности рассматриваемой задачи полученное неравенство позволяет утверждать сходимость приближенного решения к точному (в предположении существования последнего в классе достаточно гладких функций) со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные теоретические результаты.
Образец цитирования: Бештоков М. Х., Бештоков З. В., Худалов М. З. Конечно-разностный метод решения нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности дробного порядка // Владикавк. мат. журн. 2020. Т. 22, вып. 4. C. 45-57.
DOI 10.46698/p2286-5792-9411-x
1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
3. Самарский А. А. Об одной задаче распространения тепла: Избр. тр. А. А. Самарского. М.: МАКС Пресс, 2003. 531 с.
4. Нерпин С. В., Чудновский А. Ф. Энерго- и массообмен в системе растение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 358 с.
5. Нигматуллин P. P. Особенности релаксации системы с "остаточной" памятью //
Физика твердого тела. 1985. Т. 27, № 5. C. 1583-1585.
6. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием
дробного порядка, М. Ижевск: Ижев. ин-т компьютер. исслед., 2011. 568 с.
7. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.
8. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во "Артишок", 2008. 512 с.
9. Mandelbrot B. B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: W. H. Freeman and Company, 1982. 460 p.
10. Бегли Р. Л., Торвик П. Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных
дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием //
Аэрокосмическая техника. 1984. Т. 2, № 2. С. 84-93.
11. Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Диф. уравнения. 2010. Т. 46, № 5. C. 658 664.
12. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation //
J. Comput. Phys. 2015. Vol. 280. P. 424-438.
DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
13. Бештоков М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений
с дробной производной Герасимова Капуто // Изв. вузов. Математика. 2018. № 10. С. 3-16.
14. Бештоков М. Х. Краевые задачи для псевдопараболического уравнения с дробной производной Капуто // Диф. уравнения. 2019. Т. 55, № 7. С. 919-928.
DOI: 10.1134/S0374064119070021.
15. Бештоков М. Х., Водахова В. А. Нелокальные краевые задачи для
уравнения конвекции-диффузии дробного порядка //
Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. 2019. Т. 29, № 4. С. 459-482. DOI: 10.20537/vm190401.
16. Бештоков М. Х., Эржибова Ф. А. К краевым задачам для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка //
Мат. тр. 2020. Т. 23, № 1. С. 16-36.
DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102.
17. Beshtokov M. Kh., Khudalov M. Z. Difference methods of the solution of local and non-local boundary value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order //
Stability, Control and Differential Games. 2020. P. 187-201. (Lect. Notes Control Inform. Sci. Proc.). DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17.
18. Худалов М. З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа //
Владикавк. мат. журн. 2002. Т. 4, № 4. С. 59-64.
19. Алиханов А. А., Березгов А. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации //
Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2008. Т. 48, № 9. С. 1619-1628.
