Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа свертки с переменным коэффициентом и неоднородностью в линейной части

Асхабов С. Н.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 4.С.16-27.

Аннотация:
Изучается вольтерровское интегро-дифференциальное уравнение типа свертки со степенной нелинейностью, переменным коэффициентом \(a(x)\) и неоднородностью \(f(x)\) в линейной части, которое тесно связано с соответствующим нелинейным интегральным уравнением, возникающим при исследовании инфильтрации жидкости из цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду, при описании процесса распространения ударных волн в трубах, наполненных газом, при решении задачи о нагревании полубесконечного тела при нелинейном теплопередаточном процессе, в моделях популяционной генетики и других. Важно отметить, что в связи с указанными и другими приложениями особый интерес представляют непрерывные положительные при \(x>0\) решения интегрального уравнения. На основе полученных точных нижней и верхней априорных оценок решения интегрального уравнения мы строим весовое полное метрическое пространство \(P_b\), инвариантное относительно нелинейного интегрального оператора свертки, порожденного этим уравнением, и, применяя метод весовых метрик (аналог метода Белицкого), доказываем глобальную теорему о существовании и единственности решения изучаемого нелинейного интегро-дифференциального уравнения как в пространстве \(P_b\), так и во всем классе \(Q_0^1\) непрерывно дифференцируемых положительных при \(x>0\) функций. Показано, что решение может быть найдено в пространстве \(P_b\) методом последовательных приближений пикаровского типа. Для последовательных приближений получены оценки скорости их сходимости к точному решению в терминах весовой метрики пространства~\(P_b\). В частности, при \(f(x)=0\) из этой теоремы вытекает, что соответствующее однородное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, в отличие от линейного случая, имеет нетривиальное решение. Приведены также примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, степенная нелинейность, переменный коэффициент, априорные оценки, последовательные приближения, метод весовых метрик

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы