О представлении определенных интегралов значениями функции и ее производных

Шустов В. В.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 2.С.83-97.

Аннотация:
Рассмотрена задача интегрирования функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены квадратурные формулы для общего случая, когда порядки производных, заданных в концевых точках отрезка, могут быть не равны друг другу. Представлена формула для остаточного члена, и на этой основе дана оценка погрешности численного интегрирования. Приведены примеры интегрирования функций с данными о погрешности и ее оценке. Проведено сравнение двухточечного приближения интегралов с методом, основанным на использовании формулы Эйлера - Маклорена. Cравнение метода двухточечного интегрирования с подходом, основанном на использовании формулы Эйлера - Маклорена, показало, что для достаточно гладких функций точность двухточечного интегрирования существенно выше, чем по формуле Эйлера - Маклорена. Приведен пример интеграла, для которого его приближения, полученные с использованием формулы Эйлера - Маклорена, расходятся, а полученные по формуле двухточечного интегрирования сходятся и достаточно быстро. Отметим также, что в отличие от формулы Эйлера - Маклорена, формула двухточечного интегрирования применима и в случае, когда максимальные порядки производных на концах отрезка интегрирования могут быть не равными друг другу, что важно в практических приложениях.

Ключевые слова: квадратура функций, двухточечный интерполяционный многочлен Эрмита, квадратурные формулы с использованием производных, оценка погрешности интегрирования, формула Эйлера~--- Маклорена, сходимость приближений.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы