О многомерных детерминантных дифференциально-операторных уравнениях

Рахмелевич И. В.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 2.С.53-69.

Аннотация:
Рассмотрен класс многомерных детерминантных дифференциально-операторных уравнений, левая часть которых представляет собой определитель с элементами, содержащими произведение линейных одномерных дифференциальных операторов произвольного порядка, а правая часть зависит от искомой функции и ее первых производных. Отдельно исследованы однородные и неоднородные детерминантные дифференциально-операторные уравнения. Доказаны теоремы о понижении размерности уравнения. Получены решения в виде суммы и произведения функций от подмножеств независимых переменных, и в том числе, функций одной переменной. В частности, доказано, что решением рассматриваемого однородного уравнения является произведение собственных функций линейных операторов, входящих в состав уравнения. Для однородного уравнения доказана теорема о взаимосвязи решений исходного уравнения и некоторого вспомогательного линейного уравнения, а также получено решение уравнения для случая, когда линейные дифференциальные операторы, входящие в его состав, имеют пропорциональные собственные значения. Получены решения типа бегущей волны, в том числе решения степенного и экспоненциального вида, а также в виде произвольной функции от линейной комбинации независимых переменных. В случае, когда линейные операторы, входящие в состав уравнения, являются однородными, найдены решения в виде обобщенных мономов. Для неоднородного уравнения получены частные решения в случаях, когда правая часть содержит только независимые переменные, и когда правая часть содержит степенную или экспоненциальную нелинейность от искомой функции, и степени первых производных от этой функции.

Ключевые слова: детерминантное дифференциально-операторное уравнение, определитель, линейный дифференциальный оператор, собственная функция, ядро оператора, решение типа бегущей волны.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы