Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках

Нурмагомедов А. А.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 2.С.34-47.

Аннотация:
В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке [-1, 1] функции \(f(x)\) в случае целых положительных \(\alpha\) и \(\beta\) построены дискретные суммы Фурье \(S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)\) по системе многочленов \(\{\hat{p}_{k,N}^{\alpha,\beta}(x)\}_{k=0}^{N-1},\) образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках \(\Omega_N=\{x_j\}_{j=0}^{N-1},\) состоящих из конечного числа \(N\) точек отрезка \([-1, 1]\) с весом типа Якоби. Исследуются аппроксимативные свойства построенных частных сумм \(S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)\) порядка \(n\leq{N-1}\) в пространстве непрерывных функциий \(C[-1, 1].\) А именно, получена двусторонняя поточечная оценка для функции Лебега \(L_{n,N}^{\alpha,\beta}(x)\) рассматриваемых дискретных сумм Фурье при \(n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big)\), \(\lambda=\max\{\alpha, \beta\}\), \(\delta_N=\max_{0\leq{j}\leq{N-1}}\Delta{t_j}\). Соответственно, исследован также вопрос сходимости \(S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)\) к \(f(x)\). В частности, получена оценка отклонения частичной суммы \(S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)\) от \(f(x)\) при \(n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big),\) которая также зависит от \(n\) и положения точки \(x\in[-1, 1].\)

Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, асимптотическая формула, суммы Фурье, функция Лебега.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы