Три теоремы о матрицах Вандермонда

Шабат А. Б. , Артисевич А. Е.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 1.С.5-12.

Аннотация:
Рассматриваются алгебраические вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье, определенным при помощи симметричной матрицы Вандермонда \(\Lambda\). Основное внимание в первых двух теоремах уделяется выработке формулировок, независящих от размера \(N\times N\) матрицы \(\Lambda\) и явных формул для элементов матрицы \(\Lambda\) через корни уравнения \(\lambda^N = 1\). В третьей теореме рассматриваются рациональные функции \(f (\lambda)\), \(\lambda\in \mathbb{C}\), удовлетворяющие условию "вещественности" \(f (\lambda) = f\big(\frac{1}{\lambda}\big)\) на всей комплексной плоскости и связанные с известной задачей о коммутировании симметричных матриц Вандермонда \(\Lambda\) с (симметричными) трехдиагональными матрицами \(T\). Показано, что уже несколько первых уравнений коммутирования и указанное выше условие вещественности определяют вид рассматриваемых рациональных функций \(f (\lambda)\), а найденные уравнения для элементов трехдиагональных матриц \(T\) не зависят от порядка \(N\) коммутирующих матриц. Полученные уравнения и приведенные примеры позволяют высказать гипотезу о том, что рассматриваемые рациональные функции являются обобщением многочленов Чебышева. В определенном смысле аналогичная гипотеза была высказана в недавно опубликованной в журнале "Теоретическая и математическая физика" работе В. М. Бухштабера с соавторами, где обсуждаются приложения этих обобщений в современной математической физике.

Ключевые слова: матрица Вандермонда, дискретное преобразование Фурье, условия коммутирования, многочлены Лорана

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы