Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36460
Операторные интегралы Лапласа и устойчивость открытых течений идеальной несжимаемой жидкости
Ильин К. И. , Моргулис А. Б.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 3.С.31-49. .
Аннотация: Изучаются спектры краевых задач возникающих при линеаризации уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на стационарных решениях, описывающих течения, в которых жидкость поступает в область течения и выводится из нее через определенные части границы. Такие течения естественно называть открытыми. Спектры таких течений относительно мало изучены, по сравнению со случаем полностью непроницаемых границ или условий периодичности. В этой статье мы указываем класс открытых течений, спектры которых состоят из "нулей" некоторой целой операторнозначной функции, представленной операторным интегралом Лапласа. Вопрос о расположении спектра таких течений сводится, следовательно, к своего рода операторнозначной проблеме Рауса - Гурвица для этого интеграла. В ряде интересных частных случаев эту операторную функцию удается выразить как мультипликаторное преобразование рядов Фурье, и тогда проблема Рауса - Гурвица становится скалярной, и более того, ее удается решить с помощью теоремы Пойа о нулях интегралов Лапласа. На этой основе мы доказываем принадлежность открытой левой полуплоскости спектров ряда конкретных течений, для которых такие доказательства не были известны.
Образец цитирования: Ильин К. И., Моргулис А. Б., Черныш А. С. Проблема Рауса - Гурвица для оператор-функций и устойчивость
открытых течений идеальной несжимаемой жидкости //
Владикавк. мат. журн. 2019. Т. 21, вып. 3. С. 31-49. DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36460. DOI 10.23671/VNC.2019.3.36460
1. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир., 1983. 301 c.
2. Арнольд В. И. и др. Теория бифуркаций // Итоги науки и техн. Cер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1986. Т. 5. С. 5-218.
3.Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории
устойчивости. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1984. 192 c.
4. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // Прикл. матем. и мех. 1971. Т. 35, №. 4. C. 638-655.
5. Haragus M., Iooss G. Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems. London: Springer, 2010. DOI: 10.1007/978-0-85729-112-7.
6. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Гидрометеоиздат, 1976.
7. Shvydkoy R., Latushkin Y. Operator algebras and the Fredholm spectrum of advective
equations of linear hydrodynamics // J. Func. Anal. 2009. Vol. 257, № 10. P. 3309-3328. DOI: 10.1016/j.jfa.2009.06.006.
8. Arnold V. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications а l'hydrodynamique des fluides parfaits // Annales de l'institut Fourier. 1966. Vol. 16, № 1. P. 319-361. DOI: 10.5802/aif.233.
9. Morgulis A. B., Yudovich V. I. Arnold's method for asymptotic stability of steady inviscid incompressible flow
through a fixed domain with permeable boundary // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2002. Vol. 12, № 2. P. 356-371. DOI: 10.1063/1.1480443.
10. Моргулис А. Б. Вариационные принципы и устойчивость открытых течений идеальной несжимаемой жидкости // Сиб. электр. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 218-251.
11. Островский И. В. Исследования М. Г. Крейна по теории целых и мероморфных функций и их дальнейшее развитие // Укр. мат. журн. 1994. Т. 46, № 1-2. C. 87-99.
12. Седлецкий А. М. О нулях преобразований Лапласа // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 6. C. 883-892.
13. Chemin J. Y. Fluides Parfaits Incompressibles. Paris, 1995. Ser. Aste risque. Vol. 230
14. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Мат. сб. 1964. Т. 64 (106), № 4. С. 562-588.
15. Алексеев Г. В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1976. Т. 24. С. 15-35.
16. Bardos C. Existence et unicite de la solution de l'equation d'Euler en dimension deux // J. Math. Anal. Appl. 1972. Vol. 40, № 3. P. 769-790.
17. Кажихов А. В. Замечание к постановке задачи протекания для
уравнений идеальной жидкости // Прикл. матем. и мех. 1980. Т. 44, вып. 5. С. 947-949.
18. Антонцев С., Кажихов А., Монахов В. Краевые задачи механики неоднородной жидкости. Новосибирск: Наука, 1983. 320 c.
19. Temam R., Wang X. Boundary layers associated with incompressible Navier-Stokes equations: the noncharacteristic boundary case // J. Differential Equations. 2002. Vol. 179, № 2. P. 647-686. DOI: 10.1006/jdeq.2001.4038.
20. Ilin K. Viscous boundary layers in flows through a domain with permeable boundary // European J. of Mechanics-B/Fluids. 2008. Vol. 27, № 5. P. 514-538. DOI: 10.1016/j.euromechflu.2007.10.003.
21. Beavers G. S., Joseph D. D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. of Fluid Mech. 1967. Vol. 30, № 1. P. 197-207. DOI: 10.1017/S0022112067001375.
22. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176 с.
