О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя

Аллахвердян А. А.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 3.С.5-13..

Аннотация:
В работе обсуждаются элементарные преобразования Дарбу функций Бесселя. В теореме 1 мы приводим уточненную формулировку общего метода факторизации, восходящего к Э. Шредингеру, и вводим в рассмотрение взаимосвязанные дифференциальные подстановки \(B_1\) и \(B_2\). В основной теореме 2 рассматриваются уравнения Бесселя - Риккати и элементарные преобразования Дарбу сводятся к дробно-линейным отображениям. Показано, что неподвижная точка такого отображения порождает рациональные по \(x\) решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2. Отметим, что функции Бесселя рассматриваются в данной работе как собственные функции \(A\psi=\lambda\psi\) операторов Эйлера вида \(A=e^{2t}\left(D_t^2+a_1D_t+a_2\right)\) с постоянными коэффициентами \(a_1\) и \(a_2\). Это позволяет (лемма 3) построить асимптотические решения уравнений Бесселя - Риккати в виде степенных рядов по обратным степеням \(z=kx\), \(k^2=\lambda\), \(x=e^{-t}\). Мы показываем, что эти формальные ряды по обратным степеням спектрального параметра \(k=\sqrt \lambda\) сходятся, если существуют рациональные решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2.

Ключевые слова: функция Бесселя, обратимое преобразование Дарбу, непрерывные дроби, оператор Эйлера, уравнение Риккати

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы