Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32116
Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом
Митрохин С. И.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 2.С.38-57.
Аннотация: В работе изучается функционально-дифференциальный оператор
восьмого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия
являются разделенными. Функционально-дифференциальные операторы
такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов,
составленных из материалов различной плотности. Чтобы решить
функционально-дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный
оператор, применяется метод вариации постоянных. Решение исходного
функционально-дифференциального уравнения сведено к решению
интегрального уравнения Вольтерры. Получившееся интегральное
уравнение Вольтерры решается методом последовательных приближений
Пикара. В результате исследования интегрального уравнения получены
асимптотические формулы и оценки для решений
функционально-дифференциального уравнения, задающего
дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального
параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения,
определяющего дифференциальный оператор. Аналогично асимптотическим
оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с
гладкими и кусочно-гладкими коэффициентами устанавливаются
асимптотические оценки решений исходного
функционально-дифференциального уравнения. Полученные
асимптотические формулы применяются для изучения граничных условий.
В результате приходим к изучению корней функции, представленной в
виде определителя восьмого порядка. Чтобы найти корни этой функции,
необходимо изучить индикаторную диаграмму. Корни уравнения на
собственные значения находятся в восьми секторах бесконечно малого
раствора, определяемых индикаторной диаграммой. Изучены поведение
корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы и
асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального
оператора.
Образец цитирования: Митрохин С. И. Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Владикавк. мат. журн. 2019. Т. 21, вып. 2. С. 38-57. DOI 10.23671/VNC.2019.2.32116
1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 528 с.
2. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций //
Мат. сб. 1968. Т. 75(117), № 4. С. 558-566.
3. Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. сб. 1967. Т. 72\,(114), № 2. С. 293-317.
4. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций //
Функцион. анализ и его прил. 1967. Т. 1, № 2. С. 52-59.
5. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных
операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1986. № 6. С. 3-6.
6. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Диф. уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.
7. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.
8. Мартинович М. Об одной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 239-245.
9. Мартинович М. Дзета-функция и формулы следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 3. С. 537-540.
10. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Диф. уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927-931.
11. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. Математика. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-106. DOI: 10.4213/im295.
12. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма Лиувилля с сингулярными потенциалами //
Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912. DOI: 10.4213/mzm1234.
13. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма Лиувилля с \(\delta\)-потенциалом // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 6(336). С. 155-156. DOI: 10.4213/rm352.
14. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четверного порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 2009. № 3. С. 102-104.
15. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Диф. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1808-1811.
16. Митрохин С. И. Об исследовании дифференциального оператора с суммируемым потенциалом с разрывной весовой функцией // Уфимский мат. журн. 2017. Т. 9, № 4. С. 74-86.
17. Митрохин С. И. Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом // Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 4. С. 35-49. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9166.
18. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.
19. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора
со знакопеременной весовой функцией // Изв. вузов. Математика. 2018. № 6. С. 31-47.
20. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.
21. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.
