Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости

Неклюдов А. B.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 1.С.37-50.

Аннотация:
В двумерной области \(Q\), внешней по отношению к кругу, рассматривается равномерно эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами, содержащее младший неотрицательный коэффициент \(q(x)=q(x_1,x_2)\) типа потенциала в стационарном уравнении Шрёдингера. Изучаются обобщенные решения, принадлежащие пространству С. Л. Соболева \(W_2^1\) в любой ограниченной подобласти. Рассматривается вопрос о возможном росте решений на бесконечности. Доказано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента \(q(x)\) на бесконечности существует положительное решение, растущее как логарифм модуля радиус-вектора точки, т. е. так же, как фундаментальное решение соответствующего эллиптического оператора без младшего члена. Построенное решение обладает равномерно ограниченным "потоком тепла" через окружности произвольного радиуса \(R\), концентрические с границей области \(Q\). Далее устанавливается, что для любого решения, удовлетворяющего некоторой степенной оценке роста на бесконечности, выполнена оценка интеграла Дирихле типа принципа Сен-Венана в теории упругости. Ранее подобная оценка широко использовалась в работах для эллиптических уравнений второго порядка без младших членов в неограниченных областях. Оценка типа Сен-Венана позволяет получить оценку для интеграла Дирихле решения в кольцевой области через среднее значение решения на одной из окружностей этой кольцевой области. Из этого следует, что решение на окружности радиуса \(R\) имеет тот же порядок роста по \(R\), что и среднее значение на этой окружности. Использование принципа максимума позволяет показать, что любое растущее на бесконечности решение имеет логарифмический рост. Основной результат статьи состоит в том, что для данного уравнения имеет место трихотомия решений, как и для уравнения без младшего члена: решение является либо ограниченным, либо растет с логарифмической скоростью, сохраняя знак, либо осциллирует и растет по максимуму модуля как минимум степенным образом. Основным условием убывания младшего коэффициента, гарантирующего трихотомию решений, является конечность интеграла \(\int_Q q(x)\ln|x|\,dx\).

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, неограниченная область, младший коэффициент, асимптотическое поведение решений, трихотомия решений.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы