Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27656
Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях
Костин А. В.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 1.С.16-26.
Аннотация: В трехмерном расширенном гиперболическом пространстве рассмотрим "полную" псевдосферу - поверхность вращения прямой вокруг параллельной ей прямой. Поверхность, лежащая в собственной области гиперболического пространства, локально несёт на себе геометрию плоскости Лобачевского. Одна часть ее вкладывается в евклидово пространство в виде хорошо известной воронки Бельтрами - Миндинга, другая вкладывается в трехмерное пространство Минковского в виде одного из псевдоевклидовых аналогов псевдосферы. Асимптотические линии на псевдоевклидовой части поверхности мнимы. Эти мнимые асимптотические линии можно интерпретировать как вещественные асимптотические линии на поверхностях с индефинитной метрикой постоянной кривизны. Для построения интерпретации привлекаются еще два псевдоевклидовых аналога псевдосферы Бельтрами - Миндинга. Один из них глобально изометричен продолжению "полной" псевдосферы за абсолют гиперболического пространства. В работе изучаются свойства асимптотических линий на рассматриваемых поверхностях постоянной кривизны с метрикой де Ситтера в трехмерном псевдоевклидовом пространстве (пространстве Минковского). Эти свойства во многом аналогичны свойствам асимптотических на псевдосфере Бельтрами - Миндинга. Площадь сетевого четырехугольника асимптотической сети на поверхностях постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве может быть найдена по формуле Хаццидакиса. В работе рассматривается аналог этой формулы для сетевых четырехугольников асимптотической сети на поверхностях постоянной кривизны с индефинитной метрикой в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Эта формула может быть обобщена на произвольные сетевые многоугольники асимптотической сети. С использованием индефинитной метрики можно распространить действие формулы Хаццидакиса за ребро псевдосферы Бельтрами - Миндинга.
Ключевые слова: псевдосфера, плоскость де Ситтера, модель Пуанкаре, плоскость Лобачевского, асимптотические линии, чебышёвская сеть
Образец цитирования: Костин А. В. Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях // Владикавк. мат. журн. 2019. Т. 21, вып. 1. С. 16-26.
DOI 10.23671/VNC.2019.1.27656
1. Minding F. Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene krumme Flachen
auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen uber die Flachen von unveranderlichem Krummungsmasse // J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1839. Vol. 1839, № 19. P. 370-387. DOI: 10.1515/crll.1839.19.370.
2. Blanusha D. \( C^\infty\)-isometric imbeddings of the hiperbolic plane and of cylinders with hiperbolic metric in spherical spaces // Ann. Math. Pura Appl. 1962. Vol. 57, № 1. P. 321-337. DOI: 10.1007/BF02417747.
3. Blanusha D. \( C^\infty\)-isometric imbeddings of cylinders with hyperbolic metric in euclidean 7-space // Glas. Mat.-Fiz. i Astron. 1956. Vol. 11, № 3-4. P. 243-246.
4. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.
5. Hesse L. O. Uber ein ubertragungsprinzip // J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1866. Vol. 66. P. 15-21. DOI: 10.1515/crll.1866.66.15.
6. Tchebychev P. L. Sur la coupe de vetements // Association Francaise pour l'Avancement de Sciences., Congres de Paris. 1878. P. 154-155.
7. Чебышев П. Л. О кройке одежды // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 2(12). C. 38-42.
8. Hazzidakis J. N. Uber einige Eigenschaften der Flachen mit konstantem Krummungsmasz // J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1880. Vol. 88. P. 68-73. DOI: 10.1515/crll.1880.88.68.
9. Hilbert D. Uber Flchen von konstanten Gau\(\beta\)scher Krummung // Trans. Amer. Math. Soc. 1901. Vol. 2. P. 87-99.
10. Широков П. A. Интерпретация и метрика квадратичных геометрий // Избранные работы по геометрии. Казань, 1966. С. 15-179.
11. Kostin A. V., Sabitov I. K. Smarandache theorem in hyperbolic geometry // J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. 2014. Vol. 10, № 2. P. 221-232. DOI: 10.15407/mag10.02.221.
12. Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия уравнения sin-Гордона // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 23. C. 99-130.
13. Chern S. S. Geometrical interpretation of sinh-Gordon equation // Annales Polonici Mathematici. 1981. Vol. 39. P. 63-69. DOI: 10.4064/ap-39-1-63-69.
14. Галеева Р. Ф., Соколов Д. Д. О геометрической интерпретации решений некоторых уравнений математической физики // Исслед. по теории поверхностей в римановых пространствах. Л.: ЛГПИ, 1984. С. 8-22.
15. Klotz-Milnor T. Harmonic maps and classical surface theory in Minkowski 3-Space // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 280, № 1. P. 161-185. DOI: 10.2307/1999607.
16. Rosenfeld B. A., Maryukova N. E. Surfaces of constant curvature and Geometric interpretation of the Klein-Gordon, sin-Gordon and sinh-Gordon equation // Publications de L'Institut Math\'{ematique. 1997. Vol. 61(75). P. 119-132.
17. Lopez R. Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space // Int. Eletron. J. of Geometry. 2014. Vol. 7, № 1. P. 44-107.
18. Barros M., Caballero M. and Ortega M. Rotational surfaces in \(L^3\) and solutions of the nonlinear sigma model // Communication in Math. Physics. 2009. Vol. 290, № 2. P. 437-477. DOI: 10.1007/s00220-009-0850-0.
19. Albujer A. L., Caballero M. Geometric properties of same mean curvature in \(R^3\) and \(L^3\) // J. of Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 445, № 1. P. 1013-1024. DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.07.062.
20. Lopez R., Kaya S. New examples of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski space // Kyoshu J. of Math. 2017. Vol. 71, № 2. P. 311-327. DOI: 10.2206/kyushujm.71.311.
21. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.
22. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 512 с.
23. Костин А. В. Регулярность асимптотических линий на псевдосферах де Ситтера // Дни геометрии в Новосибирске 2012: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения А. Д. Александрова. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С. Л. Соболева СО РАН, 2012. C. 48-49.
24. Костин А. В., Костина Н. Н. Об эволютах некоторых кривых на псевдоевклидовой плоскости // Тр. участников Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 2004. C. 34-35.
25. Костин А. В. Об асимптотичкских сетях на псевдосферах // Дни геометрии в Новосибирске 2014: Тез. Междунар. конф., посвящ. 85-летию Ю. Г. Решетняка. Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С.Л. Соболева СО РАН, 2014. C. 41.
26. Костин А. В., Костина Н. Н. Об интерпретации асимптотических направлений // Сб. тр. междунар. молодеж. шк.-сем. "Современная геометрия и ее приложения" и междунар. науч. конф. "Современная геометрия и ее приложения". Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. C. 75-76.
