Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23390
Сходимость процессов Лагранжа - Штурма - Лиувилля для непрерывных функций ограниченной вариации
Трынин А. Ю.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 4.С.76-91.
Аннотация: Установлена равномерная сходимость внутри интервала \((a,b)\subset [0,\pi]\)
процессов Лагранжа, построенных по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля
\(L_n^{SL}(f,x)=\sum\nolimits_{k=1}^{n} f(x_{k,n})\frac{U_n(x)}{U_{n}'(x_{k,n})(x-x_{k,n})}\).
(Здесь через \(0<x_{1,n}<x_{2,n}<\dots<x_{n,n}<\pi\) обозначены нули собственной функции \(U_n\)
задачи Штурма - Лиувилля.) Непрерывные на \([0,\pi]\) функции \(f\) ограниченной вариации на
\((a,b)\subset [0,\pi]\) могут быть равномерно приближены внутри интервала \((a,b)\subset [0,\pi]\).
Получен признак равномерной сходимости внутри интервала \((a,b)\) интерполяционных процессов,
построенных по собственным функциям регулярной задачи Штурма - Лиувилля. Условие признака
сформулировано в терминах максимума суммы модулей разделенных разностей функции \(f\). Вне
интервала \((a,b)\) построенный интерполяционный процесс может расходиться. Установлена
ограниченность в совокупности фундаментальных функций Лагранжа, построенных по собственным
функциям задачи Штурма - Лиувилля. Рассмотрен случай регулярной задачи Штурма - Лиувилля
с непрерывным потенциалом ограниченной вариации. Изучены краевые условия задачи Штурма -
Лиувилля третьего рода без условий Дирихле. При наличии сервисных функций вычисления
собственных функций регулярной задачи Штурма - Лиувилля изучаемый оператор Лагранжа -
Штурма - Лиувилля легко реализуется на вычислительной технике.
Образец цитирования: Трынин А. Ю. Сходимость процессов Лагранжа - Штурма - Лиувилля для непрерывных функций ограниченной вариации // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, вып. 4. С. 76-91.
DOI 10.23671/VNC.2018.4.23390
1. Kramer H. P. A generalized sampling theorem // J. Math. Phus. 1959. Vol. 38. P. 68-72.
2. Натансон Г. И. Об одном интерполяционном процессе // Ученые записки Ленинград. пед. ин-та. 1958. Т. 166. С. 213-219.
3. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 6(324). С. 53-128.
4. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основные конструкции всплесков // Фундамент. и прикл. математика. 1997. Т. 3, № 4. С. 999-1028.
5. Stenger F. Numerical Metods Based on Sinc and Analytic Functions. N.Y.:
Springer, 1993. 565 p.
6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика,
2001.
7. Oren E. Livne, Achi E. Brandt. MuST: The multilevel sinc transform //
SIAM J. Sci. Comput. 2011. Vol. 33, № 4. P. 1726-1738.
DOI: 10.1137/100806904.
8. Coroianu L., Sorin G. Gal. Localization results for the non-truncated
max-product sampling operators based on Fejer and sinc-type kernels //
Demonstratio Mathematica. 2016. Vol. 49, № 1. P. 38-49.
9. Richardson M., Trefethen L. A sinc function analogue of Chebfun //
SIAM J. Sci. Comput. 2011. Vol. 33, № 5. P. 2519-2535.
10. Khosrow M., Yaser R., Hamed S.
Numerical Solution for First Kind Fredholm Integral Equations by Using Sinc Collocation Method //
Int. J. Appl. Phy. Math. 2016. Vol. 6, № 3. P. 120-128.
11. Трынин А. Ю. Необходимые и достаточные условия равномерной на отрезке синк-аппроксимации функций ограниченной вариации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. C. 288-298.
12. Trynin A. Yu., Sklyarov V. P. Error of sinc approximation of analytic functions on an interval //
Sampling Theory in Signal and Image Processing. 2008. Vol. 7, № 3. P. 263-270.
13. Marwa M. Tharwat. Sinc approximation of eigenvalues
of Sturm-Liouville problems with a Gaussian multiplier //
Calcolo: a Quarterly on Numerical Analysis and Theory of Computation. 2014. Vol. 51, № 3. P. 465-484. DOI: 10.1007/s10092-013-0095-3.
14. Трынин А. Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Т. 7. C. 124-127.
15. Zayed A. I., Schmeisser G. New Perspectives on Approximation and Sampling Theory, Applied and Numerical Harmonic Analysis. N.Y.-Dordrecht-London: Springer Int. Publ. Switzerland, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-08801-3.
16. Трынин А. Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений
непрерывных функций на отрезке // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. C. 1155-1166.
17. Трынин А. Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 10. C. 141-158.
18. Трынин А. Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке //
Изв. высш. учебных заведений. Математика. 2008. № 6. С. 66-78.
19. Sklyarov V. P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval //
East J. Approx. 2008 Vol. 14, № 2. P. 183-192.
20. Трынин А. Ю. О расходимости синк-приближений всюду на \((0,\pi)\) //
Алгебра и анализ. 2010. Т. 22, № 4. C. 232-256.
21. Трынин А. Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций //
Уфимский мат. журн. 2015. Т. 7, № 4. C. 116-132.
22. Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера
их модификациями: условия равномерной сходимости //
Владикавк. мат. журн. 2016. Т. 18, № 4. C. 61-70.
23. Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера
и их модификациями: условия равномерной сходимости // Материалы 18-й междунар.
Саратовской зимней шк. "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2016. С. 332-334.
24. Трынин А. Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций //
Алгебра и анализ. 2015. Т. 27, № 5. C. 170-194.
25. Трынин А. Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков //
Изв. высш. учебных заведений. Математика. 2016. № 3. C. 72-81.
26. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера Котельникова Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат. сб. 2009. Т. 200, № 11. C. 61–-108. DOI: 10.4213/sm4502.
27. Трынин А. Ю. Об операторах интерполирования
по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа Якоби //
Изв. РАН. Сер. Мат. 2011. Т. 75, № 6. C. 129-162. DOI: 10.4213/im4275.
28. Трынин А. Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля //
Изв. высш. учебных заведений. Математика. 2000. Т. 9. C. 60-73.
29. Трынин А. Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма Лиувилля // Уфимский мат. журн. 2011. Т. 3, № 4. C. 133-143.
30. Трынин А. Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма Лиувилля // Уфимский мат. журн. 2013. Т. 5, № 4. C. 116-129.
31. Трынин А. Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа
по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля // Изв. высш. учебных заведений. Математика. 2010. Т. 11. C. 74-85.
32. Трынин А. Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа Штурма Лиувилля //
Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Т. 8. С. 137-140.
33. Трынин А. Ю. Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа Штурма Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Т. 9. С. 94-97.
34. Трынин А. Ю. Теорема отсчетов на отрезке и ее обобщения. LAP LAMBERT Acad. Publ., 2016. 488 c.
35. Голубов Б. И. Сферический скачок функции и средние Бохнера Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Мат. заметки. 2012. Т. 91, № 4. С. 506-514.
36. Дьяченко М. И. Об одном классе методов суммирования кратных рядов Фурье //
Мат. сб. 2013. Т. 204, № 3. С. 3-18.
37. Скопина М. А., Максименко И. Е. Многомерные периодические всплески //
Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, № 2. С. 1-39.
38. Дьяченко М. И. Равномерная сходимость гиперболических частичных сумм кратных рядов Фурье //
Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 723-731.
39. Borisov D. I., Dmitriev S. V. On the spectral stability of kinks in 2D Klein-Gordon model with parity-time-symmetric perturbation // Stud. Appl. Math. 2017. Vol. 138, № 3. P. 317-342.
40. Голубов Б. И. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье //
Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 1. C. 13-24.
41. Борисов Д. И., Знойил М. О собственных значениях \(\mathscr{PT}\)-симметричного оператора в тонком слое //
Мат. сб. 2017. Т. 208, № 2. C. 3-30.
42. Иванникова Т. А., Тимашова Е. В., Шабров С. А.
О необходимом условии минимума квадратичного функционала
с интегралом Стилтьеса и нулевым коэффициентом при старшей производной на части интервала //
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 2(1). C. 3-8.
43. Фарков Ю. А. О наилучшем линейном приближении голоморфных функций //
Фундамент. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 5. С. 185-212.
44. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1, 2. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953.
