\(L_p-L_q\)-оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами

Гуров М. Н. , Ногин В. А.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 4.С.35-42.

Аннотация:
Получены \(L_p-L_q\)-оценки для обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами и характеристиками широкого класса, включающего произведение однородной функции, бесконечно дифференцируемой в \(\Bbb R^n\setminus\{0\}\), и функции класса \(C^{m,\gamma}(\dot{R}^1_{+})\). Описаны выпуклые множества \((1/p,1/q)\)-плоскости, для точек которых упомянутые операторы ограничены из \(L_p\) в \(L_q\), и указаны области, где эти операторы не ограничены. В некоторых случаях доказана точность полученных оценок.
В частности, получены необходимые и достаточные условия ограниченности исследуемых операторов в \(L_p\). В настоящее время имеется ряд работ по \(L_p-L_q\)-оценкам для операторов свертки с осциллирующими ядрами, в частности, для операторов Бохнера - Рисса и акустических потенциалов, возникающих в различных задачах анализа и математической физики. В этих работах рассматриваются ядра, содержащие только радиальную характеристику \(b(r)\), которая стабилизируется на бесконечности как гёльдеровская функция. Благодаря этому свойству получение оценок для указанных операторов сводилось к случаю оператора с характеристикой \(b(r)\equiv1\). Подобное сведение в принципе невозможно, когда ядро потенциала Рисса содержит однородную характеристику \(a(t')\). Поэтому в работе развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов с последующим применением техники Фурье-мультипликаторов, вырождающихся или имеющих особенности на единичной сфере в \(\mathbb{R}^n\).

Ключевые слова: потенциал Рисса, осциллирующее ядро, \(L_p-L_q\)-оценки, \(\cal L\)-характеристика.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы