Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса

Волчков Вит. В. , Волчкова Н. П.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 4.С.20-34.

Аннотация:
Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\) является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд по собственным функциям оператора Лапласа специального вида. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в \(\mathbb{R}^n\), имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. При этом для них возникает представление Смита в виде суммы соленоидального векторного поля и бесконечного числа потенциальных векторных полей. Потенциальные векторные поля удовлетворяют уравнению Гельмгольца, связанному с нулями функции Бесселя \(J_{n/2}\). Целью данной работы является получение локальных аналогов теоремы Смита. Изучаются векторные поля \(\mathbf{A}\) с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса на областях \(\mathcal{O}\) в евклидовом пространстве, инвариантных относительно вращений. Рассматриваются случаи, когда \(\mathcal{O}=B_{R}=\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<R \}\) или \(\mathcal{O}=B_{a,b}=\{x\in\mathbb{R}^n:a<|x|<b \}\). Описание полей \(\mathbf{A}\) состоит из двух шагов. На первом шаге доказывается равенство \(\mathbf{A}({x}) = {\mathbf{A}}^s({x}) +B({x}){x}\), \({x}\in \mathcal{O}\), где \({\mathbf{A}}^s\) - подходящее соленоидальное векторное поле, \({B}\) - скалярное поле. Второй шаг состоит в описании функций \(B(x)\). Основным инструментом для описания \(B(x)\) являются многомерные ряды Фурье по сферическим гармоникам. Если \(\mathcal{O}=B_{R}\), то коэффициенты Фурье функции \(B(x)\) представимы рядами по гипергеометрическим функциям \({_1}F_2\). В случае, когда \(\mathcal{O}=B_{a,b}\), соответствующие коэффициенты Фурье разлагаются в ряды, содержащие функции Бесселя, Неймана и Ломмеля. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в \(\mathbb{R}^n\).

Ключевые слова: векторное поле, нулевое сферическое среднее, сферическая гармоника, функция Ломмеля.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы