Свойства экстремальных элементов в соотношении двойственности для пространства Харди

Бурчаев Х. Х. , Рябых Г. Ю.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 4.С.5-19.

Аннотация:
Рассмотрим пространство Харди \(H_p\) в единичном круге \(D\), \(p\geq1\).
 Пусть \(l_\omega\) - линейный функционал на \(H_p\), определяемый функцией \(\omega\in L_q(T)\) ,
 где \(T=\partial D\) и \(1/p+1/q=1\), а \(F\) - экстремальная функция для \(l_\omega\).
 На \(X\in H_q\) реализуется наилучшее приближение \(\bar\omega\) в \(L_q(T)\) элементами из
 \(H_q^0=\{y\in H_q:y(0)=0\}\). Функции \(F\) и \(X\) называем экстремальными элементами (э. э.)
 для \(l_\omega\). Э. э. связаны соответствующим соотношением двойственности. Рассматривается
 задача о том, как те или иные свойства \(\omega\) отразятся на свойствах э. э. Аналогичная
 задача исследуется и для случая \(0<p<1\). В статье Л. Карлесона и С. Кобса (1972) была
 изучена задача о свойствах элементов, на которых достигается нижняя грань
 \(\|\bar\omega-x\|_{L_\infty(T)}\) для заданного \(\omega\in L_q(T)\) по \(x\in H_\infty^0\).
 Гипотеза авторов о том, что связь между э. э. подобна связи между \(\omega\) и его проекцией
 на \(H_q\), частично подтверждена в статье В. Г. Рябых (2006). Свойства э. э. для
 \(l_\omega\), когда \(\omega\) - полином, изучены в статье Х. Х. Бурчаева, В. Г. Рябых и
 Г. Ю. Рябых (2017). В данной статье, опираясь на основной результат последней статьи
 и пользуясь методом последовательных приближений, доказано: если \(\omega\in L_{q^*}(T)\),
 \(q\le q^*<\infty\), то \(F\in H_{(p-1)q^*}\), \(X\in H_{q^*}\); когда производная
 \(\omega^{(n-1)}\in {\rm Lip}(\alpha,T)\), \(0<\alpha<1\), то \(F=Bf\), где \(B\) - произведение
 Бляшке, \(f\) - внешняя функция, при этом \((|f(t)|^p)^{(n-1)}\in {\rm Lip}(\alpha,T)\).
 Если же функция \(\omega\) аналитична вне единичного круга, то э. э. аналитичны в том же
 круге. Перечисленные результаты уточняют и дополняют подобные результаты, полученные
 упомянутой работе В. Г. Рябых (2006). Доказано также, что экстремальная функция для
 \(l_\omega\in (H_q)^*\), где \(1/(n+1)<\delta<1/n\),
 \(\omega\in H_\infty\cap {\rm Lip}(\beta,T)\), \(\beta=1/\delta-n+\nu<1\) и \(\nu>0\),
 существует и обладает той же гладкостью, что и образующая функция \(\omega\).

Ключевые слова: линейный функционал, экстремальный элемент, метод приближения, производная.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы