Аннотация: Рассматривается задача описания пространства \(I^\alpha(X)\)функций, представимых риссовым потенциалом \({I}^\alpha \varphi\) с плотностью \(\varphi\) из заданного пространства \(X.\) Предполагается, что \(X\subset \Phi'\), где \(\Phi'\) - пространство распределений над основным классом \(\Phi\) Лизоркина, инвариантным относительно риссова интегрирования, и образ \(I^\alpha(X)\) понимается в смысле распределений. В такой общей постановке поясняется вопрос, при каких предположениях о пространстве \(X\) принадлежность элемента \(f\) из образа \(I^\alpha(X)\) эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов \(\mathbb D_\varepsilon^\alpha f\) в пространстве \(X.\) Для этой цели вначале указанный вопрос исследуется в контексте топологии пространства \(\Phi.\) Именно, показывается, что для любого линейного подмножества \(X\) в \(\Phi'\) принадлежность элемента \(f\) образу \( I^\alpha (X) \) эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов на множестве \(X\) в топологии пространства \(\Phi'\). Если \(X\) - банахово пространство, то переход от принадлежности образу к сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов по норме доказывается с точностью до аддитивного многочлена в предположении, что некоторая специальная конволюция является аппроксимацией единицы в пространстве \(X\). Известно, что последнее выполняется для многих банаховых функциональных пространств и справедливо для всех тех функциональных пространств \(X\), в которых ограничен максимальный оператор. Обратный переход доказывается для функционального пространства Банаха \(X\), обладающего тем свойством, что ассоциированное с ним
пространство \(X'\) содержит основной класс Лизоркина.
Ключевые слова: потенциал Рисса, пространство риссовых потенциалов, гиперсингулярный интеграл, распределения, гранд-пространство Лебега, пространство Лизоркина основных функций, аппроксимация единицы, пространство Орлича, пространство Лебега переменного порядка.
Образец цитирования: Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Об описании пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 2. С. 95-108. DOI 10.23671/VNC.2018.2.14726
1. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications.
London-N.Y.: Taylor & Francis, 2002. 358+xvii p. (Ser. Analytical
Methods and Special Functions. Vol. 5).
2. Rafeiro H., Samko S. Fractional integrals and derivatives:
mapping properties // Fract. Calc. Appl. Anal. 2016. Vol. 19, № 3.
P. 580-607. DOI: 10.1515/fca-2016-0032.
3. Stein E. M. The characterization of functions arising as
potentials // Bull. Amer. Math. Soc. 1961. Vol. 67, № 1. P.
102-104.
4. Лизоркин П. И. Описание пространства \(L_p^r(R^n)\)в терминах
разностных сингулярных интегралов // Мат. сб. 1970. Т. 81, № 1. С.
79-91.
5. Умархаджиев С. М. Описание пространства риссовых потенциалов
функций из град-пространства Лебега на \(\mathbb{R^n}\) //
Математические заметки. 2018. (В печати).
6. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Boston:
Academic Press Inc., 1988. (Pure Appl. Math. Vol. 129).
7. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods,
Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton Univ.
Press, 1993. xiii+695 p.
8. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега //
Известия вузов. Математика. Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. Т. 4.
С. 42-51.
9. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. Riesz fractional integrals in
grand Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. 2016. Vol. 19, №
3. P. 608-624. DOI: 10.1515/fca-2016-0033.
10. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On grand Lebesgue spaces on
sets of infinite measure // Mathematische Nachrichten. 2017. Vol.
290, № 5-6. P. 913-919. DOI:10.1002/mana.201600136.
11. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces:
Foundations and Harmonic Analysis. Birkhauser, 2013. 316 p. (Appl.
Numerical Harmonic Anal.).
12. Diening L., Harjulehto P., Hasto P., and R\.u\vzi\vcka M.
Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Berlin:
Springer-Verlag, 2011. (Lecture Notes in Math. Vol. 2017). DOI:
10.1007/978-3-642-18363-8.
13. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., and Samko S. Integral
Operators in Non-standard Function Spaces. Vol. I. Variable Exponent
Lebesgue and Amalgam Spaces. Birkhaser, 2015. 586 p.
15. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., and Neugebauer C. J. The maximal
function on variable \(L^p\)-spaces // Ann. Acad. Scient. Fennicae.
Math. 2003. Vol. 28. P. 223-238.
16. Kerman R., Torchinsky A. Integral inequalities with weights for
the Hardy maximal function // Stud. Math. 1982. Vol. 71. P. 277-284.
17. Kokilashvili V., Krbec M. Weighted inequalities in Lorentz and
Orlicz spaces. Singapore: World Scientific Publ., 1991. 233 p.
18. Чувенков А. Ф. Пространства Соболева Орлича дробного порядка
// Изв. Сев.-Кавк. центра высш. школы. Сер. естеств.
наук. 1978. Т. 1. C. 6-10.
19. Самко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН
СССР. Сер. Математика. 1976. Т. 40, № 5. C. 1143-1172.
20. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O. I. Fractional
Integrals and Derivatives. Theory and Applications. London-N.Y.:
Gordon & Breach. Sci. Publ., 1993. 1012 p.
21. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Описание пространства риссовых
потенциалов в терминах старших производных // Изв. вузов. Сер.
Математика. 1980. Т. 11. С. 79-82.
22. Kokilashvili V., Meskhi A., and Samko S. On the inversion and
characterization of the Riesz potentials in the weighted Lebesgue
spaces // Memoirs on Differential Equations and Mahematical Physics.
2003. Vol. 29. P. 99-106.
23. Almeida A. Inversion of the Riesz Potential Operator on Lebesgue
Spaces with Variable Exponent // Frac. Calc. Appl. Anal. 2003. Vol.
6, № 3. P. 311-327.
24. Almeida A., Samko S. Characterization of Riesz and Bessel
potentials on variable Lebesgue spaces // J. Function Spaces and
Applic. 2006. Vol. 4, № 2. P. 113-144.
