Теорема о вложении элементарной сети

Джусоева Н. А.  , Итарова С. Ю. , Койбаев В. А.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 2.С.57-61..

Аннотация:
Пусть \(\Lambda\) - произвольное коммутативное кольцо с единицей, \(n\) - натуральное число, \(n\geq 2\). Система \( \sigma = (\sigma_{ij}),\) \(1\leq{i, j} \leq{n},\) аддитивных подгрупп \(\sigma_{ij}\) кольца \(\Lambda\) называется сетью (ковром)   над кольцом \(\Lambda\) порядка \(n\), если \( \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}\) при всех значениях индексов \(i\), \(r\), \(j.\) Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. Элементарная сеть \(\sigma = (\sigma_{ij})\), \(1\leq{i\neq{j} \leq{n}}\), называется дополняемой  (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) \(\sigma_{ii}\) кольца \(\Lambda\) таблица (с диагональю) \(\sigma = (\sigma_{ij}), 1\leq{i, j} \leq{n}\) является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть \(\sigma\) является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Пусть \(\sigma = (\sigma_{ij})\) - элементарная сеть над кольцом \(\Lambda\) порядка \(n\). Рассмотрим набор \(\omega = (\omega_{ij})\)
аддитивных подгрупп \(\omega_{ij}\) кольца \(\Lambda\), определенных для любых \(i\neq{j}\) формулой \(\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{ik}\sigma_{kj}\), где суммирование берется по всем \(k\), отличным от \(i\) и \(j\).  Набор \(\omega= (\omega_{ij})\) аддитивных подгрупп \(\omega_{ij}\) кольца \(\Lambda\) является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью. Элементарную сеть \(\omega\) можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, а также другим способом, который мы предлагаем в статье. Вводится также понятие сети \(\Omega=(\Omega_{ij})\), которую мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой \(E(\sigma)\). Следующая теорема является основным результатом статьи: Элементарная сеть \(\sigma\) индуцирует элементарную производную сеть \(\omega=(\omega_{ij}) \) и сеть \(\Omega=(\Omega_{ij})\), ассоциированную с элементарной группой \(E(\sigma)\), причем \(\omega\subseteq \sigma \subseteq \Omega\). Если \(\omega=(\omega_{ij})\) дополнить диагональю до полной стандартным способом, то  для произвольного \(r\) и любых \(i\neq j\) будет \(\omega_{ir}\Omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}\) и \(\Omega_{ir}\omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}\). Если же \(\omega=(\omega_{ij})\) дополнить диагональю до полной вторым способом, то  последние включения  выполняются для любых \(i\), \(r\), \(j\).

Ключевые слова: сети, элементарные сети, сетевые группы, производная сеть, элементарная сетевая группа, трансвекция

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы