Аннотация: Исторически, разнообразные сходимости в векторных решетках являлись предметом глубоких исследований восходящих к началу XX века. Изучение неограниченной порядковой сходимости было инициировано Накано в конце 40-х годов, в связи с эргодической теоремой Биркгофа. Идея Накано заключалась в том, чтобы определить сходимость почти всюду в терминах решеточных операций без прямого использования теории меры. Много лет спустя выяснилось, что неограниченная порядковая сходимость весьма полезна в теории вероятностей. С тех пор идея исследования различных сходимостей с помощью их неограниченных версий используется в различных контекстах. Например, неограниченные сходимости в векторных решетках привлекли внимание многих исследователей для того чтобы найти новые подходы к различным проблемам функционального анализа, теории операторов, вариационного исчисления, теории рисков в финансовой математике и т.д. Некоторые неограниченные сходимости, такие как неограниченная сходимость по норме или мультинорме, неограниченная \(\tau\)-сходимость, являются топологическими. Другие приведенные сходимости не являются топологическими в общем случае, например: неограниченная порядковая сходимость, неограниченная относительная равномерная сходимость, различные неограниченные сходимости в решеточно-нормированных решетках, и т.п. В настоящей работе представлены последние наиболее часто используемые сходимости в векторных решетках, с акцентом на соответствующих неограниченных сходимостях. Особое внимание уделяется случаю сходимости в решеточно мультипсевдонормированных векторных решетках, обобщающих большинство случаев, обсуждавшихся в литературе за последние 5 лет.
Образец цитирования: Dabboorasad A. M., Emelyanov E. Yu. Unbounded Convergence in the Convergence Vector Lattices: a Survey // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 2. С. 49-56. DOI 10.23671/VNC.2018.2.14720
1. Gutman A. E., Koptev A. V. Convergence-Preserving Maps and
Fixed-Point Theorems. Math. Notes, 2014, vol. 95, pp. 738-742.
2. Preuss G. Order Convergence and Convergence Almost Everywhere
Revisited. Internat. J. Pure Appl. Math., 2011, vol. 66, pp. 33-51.
3. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Locally Solid Riesz Spaces, N.
Y., Acad. Press, 1978, xii+198 p.
4. Kusraev A. G. Dominated Operators, Dordrecht, Kluwer, 2000,
xiv+446 p.
5. Aydin A., Emelyanov E. Y., Erkursun-Ozcan N., Marabeh M. A. A.
Unbounded \(p\)-Ñonvergence in Lattice-Normed Vector Lattices,
arXiv:1609.05301v3.
6. Aydin A., Emelyanov E. Y., Erkursun-Ozcan N., Marabeh M. A. A.
Compact-Like Operators in Lattice-Normed Spaces. Indag. Math.
(N.S.), 2018, vol. 29, pp. 633-656.
7. Dabboorasad Y. A., Emelyanov E. Y., Marabeh M. A. A.
\(um\)-Topology in Multi-Normed Vector Lattices. Positivity, 2018,
vol. 22, pp. 653-667.
8. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Subdifferentials: Theory and
Applications, N. Y., Kluwer Academic, 1995, x+398 p.
9. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis,
Dordrecht, Kluwer, 1999, xii+322 p.
10. Kutateladze S. S. Fundamentals of Functional Analysis, N. Y.,
Springer-Verlag, 1996, xiv+276 p.
11. Dabboorasad Y. A., Emelyanov E. Y., Marabeh M. A. A. Order
Convergence In Infinite-Dimensional Vector Lattices is Not
Topological, arXiv:1705.09883.
12. Deng Y., O'Brien M., Troitsky V. G. Unbounded Norm Convergence
in Banach Lattices. Positivity, 2017, vol. 21, pp. 963-974.
13. Gao N., Troitsky V. G., Xanthos F. \(Uo\)-Convergence and its
Applications to Cesaro Means in Banach lattices, Isr. J. Math.,
2017, vol. 220, pp. 649-689.
14. Kandic M., Li H., Troitsky V. G. Unbounded Norm Topology Beyond
Normed Lattices. Positivity, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 745-760. DOI:
10.1007/s11117-017-0541-6.
15. Kandic M., Marabeh M. A. A., Troitsky V. G. Unbounded Norm
Topology in Banach Lattices. J. Math. Anal. Appl., 2017, vol. 451,
pp. 259-279.
16. Li H., Chen Z. Some Loose Ends on Unbounded Order Convergence.
Positivity, 2018, vol. 22, pp. 83-90.
17. Emelyanov E. Y., Marabeh M. A. A. Two Measure-Free Versions of
the Brezis-Lieb Lemma. Vladikavkaz Math. J., 2016, vol. 18, no. 1,
pp. 21-25. DOI 10.23671/VNC.2016.1.5930.
18. Gao N., Leung D. H., Xanthos F. Duality for Unbounded Order
Convergence and Applications. Positivity, 2018, vol. 22, no. 3, pp.
711-725.--DOI: 10.1007/s11117-017-0539-0.
19. Marabeh M. A. A. Brezis-Lieb Lemma in Convergence Vector
Lattices. Turkish J. of Math., 2018, vol. 42, pp. 1436-1442. DOI:
10.3906/mat-1708-7.
20. Dabboorasad Y. A., Emelyanov E. Y., Marabeh M. A. A.
\(u\tau\)-Convergence in locally solid vector lattices. Positivity,
2018, to appear. DOI: 10.1007/s11117-018-0559-4.
21. Gorokhova S. G. Intrinsic characterization of the space \(c_0(A)\)
in the class of Banach lattices. Math. Notes, 1996, vol. 60, pp.
330-333.
22. Dales H. G., Polyakov M. E. Multi-Normed Spaces. Dissertationes
Math. (Rozprawy Mat.),2012, vol. 488, pp. 1-165.
23. Aydin A., Gorokhova S. G., Gul H. Nonstandard Hulls of
Lattice-Normed Ordered Vector Spaces. Turkish J. of Math., 2018,
vol. 42, pp. 155-163.
24. Aydin A. Unbounded \(p\tau\)-Convergence in Lattice-Normed Locally
Solid Riesz Spaces, arXiv:1711.00734.
25. Aydin A. Compact Operators with Convergence in Lattice-Normed
Locally Solid Riesz Spaces, arXiv:1801.00919.
26. Emelyanov E. Y., Erkursun-Ozcan N., Gorokhova S. G. Komlos
Properties in Banach Lattices, Acta Mathematica Hungarica, 2018,
vol. 155, no. 2, pp. 324-331. DOI: 10.1007/s10474-018-0852-5.
27. Gao N. Unbounded Order Convergence in Dual Spaces. J. Math.
Anal. Appl., 2014, vol. 419, pp. 347-354.
28. Gao N., Xanthos F. Unbounded Order Convergence and Application
to Martingales Without Probability. J. Math. Anal. Appl., 2014, vol.
415, pp. 931-947.
29. Kandic M., Taylor M. A. Metrizability of Minimal and Unbounded
Topologies, J. Math. Anal. Appl., 2018, vol. 466, no. 1, pp.
144-159. DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.05.068.
30. Taylor M. A. Unbounded Topologies and \(uo\)-Convegence in Locally
Solid Vector Lattices, arXiv:1706.01575.
31. Taylor M. A. Completeness of Unbounded Convergences. Proc. Amer.
Math. Soc., 2018, vol. 146, pp. 3413-3423. DOI: 10.1090/proc/14007.
32. Zabeti O. Unbounded Absolute Weak Convergence in Banach
Lattices. Positivity, 2018, vol. 22, pp. 501-505.
33. Ercan Z., Vural M. Towards a Theory of unbounded Locally Solid
Riesz Spaces, arXiv:1708.05288.
