Аннотация: Цель настоящей статьи - дать обзор некоторых новых идей и недавних результатов в теории интегрирования скалярных функций относительно векторной меры, а также общих теорем о функциональном представлении квазибанаховых решеток. Приводится набросок чисто порядкового интеграла типа Канторовича - Райта скалярных функций относительно векторной меры, заданной на \(\delta\)-кольце и принимающей значения в порядково \(\sigma\)-полной векторной решетке. Также представлено интегрирование типа Бартла - Данфорда - Шварца по мере, определенной на \(\delta\)-кольце со значениями в квазибанаховой решетке. В контексте банаховых решеток решающую роль играют пространства интегрируемых и слабо интегрируемых функций относительно векторной меры. При решении задачи о функциональном представлении квазибанаховых решеток, подход, основанный на двойственности, не работает, но существуют два естественных кандидата для пространства слабо интегрируемых функций: максимальное квазибанахово расширение и область определения наименьшего расширения интегрального оператора. Используя эту идею, можно построить новые пространства слабо интегрируемых функций, которые играют существенную роль в задаче о функциональном представлении квазибанаховых решеток. В частности, показано, что при изучении квазибанаховых решеток, когда метод двойственности не применим, интеграл Канторовича - Райта оказывается более гибким инструментом, чем интеграл Бартла - Данфорда - Шварца.
Ключевые слова: квазибанахова решетка, положительная векторная мера, интеграл Канторовича - Райта, интеграл Бартла - Данфорда - Шварца, оператор интегрирования, пространство интегрируемых функций, пространство слабо интегрируемых функций
Образец цитирования: Кусраев А. Г., Тасоев Б. Б. Интегрирование по положительной мере со значениями в квазибанаховой решетке // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 1. С. 69-85. DOI 10.23671/VNC.2018.1.11399
1. Абрамович Ю. А. О максимальном нормированном расширении
полуупорядоченных нормированных пространств // Изв. вузов.
Математика. 1970. Т. 3. C. 7-17.
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая
теория. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. xiv+858 c.
3. Канторович Л. В. Линейные операторы в полуупорядоченных пространствах //
Мат. сб. 1940. Т. 7, № 49. C. 209-284.
4. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г.
Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах М.-Л.:
Гостехиздат, 1950. [in Russian].
5. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. М.: Наука,
2003. 619 c.
6. Кусраев А. Г. Булевозначный принцип переноса для инъективных
банаховых решеток // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 5. C. 1111-1129.
DOI: 10.17377/smsh.2015.56.511.
7. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. .:
Физматгиз, 1961. 408 c.
8. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982. 536 c.
9. Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. Positive operators //
Handbook of the Geometry of Banach Spaces. Amsterdam:
Elsevier Sci., 2001. Vol. 1. P. 85-122.
10. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators. London
etc.: Acad. Press Inc., 1985. xvi+367 p.
11. Bartle R. G., Dunford N., and Schwartz J.
Weak compactness and vector measures //
Canad. J. Math. 1955. Vol. 7. P. 289-305.
12. Calabuig J. M., Delgado O., Juan M. A., and Sanchez Perez
E. A. On the Banach lattice structure of \(L^1_w\) of a vector measure
on a \(\delta\)-ring // Collect. Math. 2014. Vol. 65. P. 67-85.
13. Cuartero B., Triana M. A. \((p,q)\)-Convexity in quasi-Banach
lattices and applications // Stud. Math. 1986. Vol. 84,
№ 2. P. 113-124.
14. Curbera G. P. El espacio de funciones integrables respecto
de una medida vectorial: Ph.D. Thesis. Sevilla: Univ. of Sevilla, 1992.
15. Curbera G. P. Operators into \(L^1\) of a vector measure and
applications to Banach lattices // Math. Ann. 1992. Vol. 293. P. 317-330.
16. Curbera G. P., Ricker W. J. Banach lattices with the Fatou property
and optimal domains of kernel operators // Indag. Math. (N.S.).
2006. Vol. 17. P. 187-204.
7. Curbera G. P., Ricker W. J. Vector measures, integration,
pplications // Positivity (Trends Math.). Basel: Birkhauser, 2007. P. 127-160.
18. Curbera G. P., Ricker W. J. The Fatou property in \(p\)-convex Banach lattices //
J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 328. P. 287-294. DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.04.086.
19. Delgado O. \(L^1\)-spaces of vector measures defined on \(\delta\)-rings //
Arch. Math. 2005. Vol. 84. P. 432-443.
DOI: 10.1007/s00013-005-1128-1.
20. Delgado O. Optimal extensions for positive order continuous
operators on Banach function spaces // Glasgow Math.
J. 2014. Vol. 56. P. 481-501. DOI: 10.1017/S0017089513000384.
21. Delgado O., Juan M. A. Representation of Banach lattices as \(L^1_w\) spaces of
a vector measure defined on a \(\delta\)-ring // Bull. Belg. Math. Soc. 2012.
Vol. 19, № 2. P. 239-256.
22. Delgado O., Sanchez Perez E. A. Strong extensions for \(q\)-summing
operators acting in \(p\)-convex Banach function spaces for \(1\leq p\leq q\) //
Positivity. 2016. Vol. 20. P. 999-1014. DOI: 10.1007/s11117-016-0397-1.
23. Delgado O., Sanchez Perez E. A.
Optimal extensions for pth power factorable operators //
Mediterranean J. of Math. 2016. Vol. 13. P. 4281-4303. DOI: 10.1007/s00009-016-0745-1.
24. Fremlin D. H. Topological Riesz Spaces and Measure Theory.
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1974. xiv+266 p.
25. Fremlin D. H. Measure Theory. Vol. 2. Broad
Foundation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. 672 p.
26. Haydon R. Injective Banach lattices // Math.
Z. 1974. Vol. 156. P. 19-47.
27. Juan A. M., Sanchez Perez E. A. Maurey-Rosenthal domination
for abstract Banach lattices // J. Ineq. and Appl. 2013.
Vol. 213, № 213. P. 1-12.
28. Godefroy G. A glimpse at Nigel Kalton's work //
Banach Spaces and their applications in Analysis. Berlin: W. de
Gruyter, 2007. P. 1-35.
29. Kalton N. J. Convexity conditions for non-locally convex
lattices // Glasgow Math. J. 1984. Vol. 25. P. 141-152.
30. Kalton N. J. Isomorphisms between spaces of vector-valued
continuous functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1983. Vol. 26. P. 29-48.
31. Kalton N. J. Quasi-Banach Spaces / Eds. W. B. Johnson
and J. Lindenstrauss. Amsterdam: Elsevier, 2003. P. 1099-1130. (Handbook
of the Geometry of Banach Spaces. Vol. 2.).
32. Kluvanek I., Knowles G. Vector Measures and Control Systems.
North-Holland: Amsterdam, 1976. 191 p.
33. Kusraev A. G., Tasoev B. B. Kantorovich-Wright integration
and representation of vector lattices // J. Math. Anal. Appl. 2017.
Vol. 455. P. 554-568. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.05.059.
34. Kusraev A. G., Tasoev B. B. Kantorovich-Wright integration
and representation of quasi-Banach lattices //
J. Math. Anal. Appl. 2018. Vol. 462, № 1. (В печати).
DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.02.027.
35. Kusraev A. G., Tasoev B. B. Maximal quasi-normed extension
of quasi-normed lattices // Владикавк. мат. журн. 2017.
Т. 19, № 3. С. 41-50. DOI: 10.23671/VNC.2017.3.7111.
36. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces.
Vol. 2. Function Spaces. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979. 243 p.
37. Lewis D. R. Integration with respect to vector measures //
Pacific J. Math. 1970. Vol. 33. P. 157-165.
38. Lewis D. R. On integration and summability in vector spaces //
Illinois J. Math. 1972. Vol. 16. P. 294-307.
39. Maligranda L. Type, cotype and convexity properties
of quasi-Banach spaces // Proc. of the International Symposium
on Banach and Function Spaces (Oct. 2-4, 2003, Kitakyushu-Japan).
Yokohama: Yokohama Publ., 2004. P. 83-120.
40. Masani P. R., Niemi H. The integration theory of Banach space
valued measures and the Tonelli-Fubini theorems. I.
Scalar-valued measures on \(\delta\)-rings //
Adv. Math. 1989. Vol. 73. P. 204-241.
41. Masani P. R., Niemi H. The integration theory
of Banach space valued measures and the
Tonelli-Fubini theorems. II. Pettis integration //
Adv. Math. 1989. Vol. 75. P. 121-167.
42. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices. Berlin etc.:
Springer, 1991. xvi+395 p.
43. Okada S., Ricker W. J., and Sanchez Perez E. A.
Optimal domain and integral extension of operators acting
in function spaces (Oper. Theory Adv. Appl.) Vol. 180. Basel:
Birkhauser, 2008.
44. Rolewicz S. Metric Linear Spaces. Warszaw: PWN-Polish Sci. Publ.,
1972. 287 p. (Math. Monogr. Vol. 56.).
45. Sanchez Perez E. A. and Tradacete P. Bartle-Dunford-Schwartz integration
for positive vector measures and representation of quasi-Banach
lattices // J. Nonlin. and Conv. Anal. 2016. Vol. 17,
№ 2. P. 387-402.
46. Thomas E. G. F. Vector Integration // Quast. Math. 2012. Vol. 35.
P. 391-416. DOI: 10.2989/ 16073606.2012.742230.
47. Turpin Ph. Integration par rapport a une mesure a valeurs dans un espace
vectoriel topologique non suppose localement convexe // Integration vectorielle
et multivoque (Colloq., Univ. Caen, Caen, 1975), Exp. № 8, Dep. Math.,
U.E.R.Sci. Caen: Univ. Caen, 1975.
48. Turpin Ph. Convexites dans les Espaces Vectoriels Topologiques
Generaux: Diss. Math. Vol. 131. 1976.
49. Wright J. D. M. Stone-algebra-valued measures and
integrals // Proc. London Math. Soc. 1969. Vol. 19,
№ 3. P. 107-122.
50. Wright J. D. M. A Radon-Nikodym theorem for Stone algebra valued measures //
Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 139. P. 75-94.
51. Szulga J. \((p,r)\)-convex functions on vector lattices //
Proc. Edinburg Math. Soc. 1994. Vol. 37, № 2. P. 207-226.
