Дифференцирования со значениями в идеальных \(F\)-пространствах измеримых функций

Алимов А. А. , Чилин В. И.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 1.С.21-29.

Аннотация:
Известно, что на любой коммутативной алгебре фон Неймана \(\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)\) каждое дифференцирование тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативной алгебре \(\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)\) всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой \((\Omega,\mu)\), всегда существуют ненулевые дифференцирования. При этом каждое дифференцирование на \(\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)\), принимающее значения в нормированном идеальном подпространстве \(X\subset \mathcal{L}_{0}(\Omega,\mu)\), обязательно является нулевым. Аналогичный факт остается верным и для квазинормированных идеальных подпространств \(X \subset \mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)\).

Естественно возникает вопрос о существовании ненулевых дифференцирований, определенных на \(\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) \), со значениями в \(F\)-нормируемом идеальном пространстве \(X \subset \mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)\), т. е. идеальном пространстве, снабженном монотонной \(F\)-нормой. Мы даем необходимые и достаточные условия для полных \(F\)-нормируемых идеальных пространств \(X\), обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований \(\delta: \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) \to X \). В частности, показано, что в случае порядковой полунепрерывности \(F\)-нормы \(\|\cdot\|_X\) каждое дифференцирование \(\delta: \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) \to (X, \|\cdot\|_X)\) является нулевым. В то же время, наличие неатомического идемпотента \(0 \neq e \in X\), \(\mu(e) < \infty\), для которого топология сходимости по мере в \(e\cdot X\) совпадает с топологией, порожденной \(F\)-нормой, обеспечивает существование ненулевого дифференцирования из \(\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)\) в \(X\). Примерами таких \(F\)-нормируемых идеальных пространств служат алгебры \(\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)\) для неатомических измеримых пространств \((\Omega, \mu)\), наделенные \(F\)-нормой \(\|f\|_{\Omega}=\int_{\Omega} \frac{|f|}{1+|f|} d \mu\). Для таких \(F\)-пространств имеется не менее континуума попарно различных ненулевых дифференцирований из \(\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)\) в \((\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu), \|\cdot\|_{\Omega})\).

Ключевые слова: дифференцирование, идеальное пространство, \(F\)-норма

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы