Парные интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами мультипликативного сдвига

Авсянкин О. Г.  , Ковальчук А. М.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 1.С.10-20.

Аннотация:
В пространстве \(L_p(\mathbb{R}^n)\), где \(1\leqslant p\leqslant\infty\), рассматривается оператор \(B\), представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое - это парный многомерный интегральный оператор, ядра которого однородны степени \((-n)\) и инвариантны относительно группы вращений пространства \(\mathbb{R}^n\), а второе слагаемое - сходящийся по операторной норме ряд, составленный из многомерных операторов мультипликативного сдвига с комплексными коэффициентами. На ядра и коэффициенты оператора \(B\) накладываются некоторые дополнительные условия, обеспечивающие его ограниченность в пространстве суммируемых функций. Основная цель работы заключается в исследовании обратимости оператора \(B\). Для решения этой задачи применяется специальный метод, позволяющий осуществить редукцию многомерного парного оператора к бесконечной последовательности одномерных парных операторов \(B_m\), где \(m \in\mathbb{Z}_+\). Показано, что оператор \(B\) обратим в том и только в том случае, когда обратимы все операторы \(B_m\), где \(m\) пробегает все значения от нуля до некоторого конечного числа \(m_0\). В свою очередь, операторы \(B_m\) сводятся к интегрально-разностным операторам свертки, теория которых хорошо известна. Все это позволило для рассматриваемого оператора \(B\) определить символ, который представляет собой пару функций \((\beta_1(m,\xi), \beta_2(m,\xi))\), заданных на множестве \(\mathbb{Z}_+ \times \mathbb{R}\). Если символ является невырожденным, то естественным образом определяются вещественное число \(\nu\) и целые числа \(\varkappa_m\), где \(m \in\mathbb{Z}_+\), называемые индексами. Основной результат работы - критерий обратимости в пространстве \(L_p(\mathbb{R}^n)\) многомерного парного оператора \(B\). Согласно этому критерию, оператор \(B\) обратим тогда и только тогда, когда его символ является невырожденным, а все его индексы равны нулю.

Ключевые слова: парный оператор, интегральный оператор, однородное ядро, мультипликативный сдвиг, обратимость, сферические гармоники

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы