Аннотация: Рассмотрен вопрос о представлении решения задачи Коши для разностного уравнения \(r\)-го порядка с переменными коэффициентами и заданными начальными условиями в точке \(x=0\) путем разложения его решения в ряд Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву на сетке \((0,1,\ldots)\). Указанное представление базируется на конструировании новых полиномов, ортогональных по Соболеву и порожденных классическими полиномами Мейкснера. Для новых полиномов получена явная формула, содержащая многочлены Мейкснера. Этот результат позволяет исследовать асимптотические свойства сконструированных новых полиномов, ортогональных по Соболеву на
сетке \((0,1,\ldots)\) с заданным весом. Кроме того, это позволяет решить проблему, связанную с вычислением новых полиномов, сводя ее к применению известных рекуррентных соотношений для классических полиномов Мейкснера.
Ключевые слова: разностное уравнение, ортогональные по Соболеву полиномы, ортогональные на сетке полиномы Мейкснера, приближение дискретных функций, смешанные ряды по полиномам Мейкснера.
Образец цитирования: Шарапудинов И. И., Гаджиева З. Д., Гаджимирзаев Р. М. Разностные уравнения и полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера// Владикавк. мат. журн. 2017. Том 19, вып. 2. С. 58-72. DOI 10.23671/VNC.2017.2.6509
1. Iserles A., Koch P. E., Norsett S. P., Sanz-Serna J. M. On
polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner
products // J. Approx. Theory. 1991. Vol. 65. P. 151-175.
2. Marcellan F., Alfaro M., Rezola M. L. Orthogonal polynomials on
Sobolev spaces: old and new directions // J. Comput. Appl. Math.
1993. Vol. 48, № 1-2. P. 113-131.
3. Meijer H. G. Laguerre polynimials generalized to a certain
discrete Sobolev inner product space // J. Approx. Theory. 1993.
Vol. 73. P. 1-16.
4. Kwon K. H., Littlejohn L. L. The orthogonality of the Laguerre
polynomials \(L_n^{(-k)}(x)\) for positive integers \(k\) // Ann. Numer.
Anal. 1995. № 2. P. 289-303.
5. Kwon K. H., Littlejohn L. L. Sobolev orthogonal polynomials and
second-order differential equations // Ann. Numer. Anal. 1998. Vol.
28. P. 547-594.
6. Marcellan F., Yuan Xu On Sobolev orthogonal polynomials. arXiv:
6249v1 [math.C.A] 25 Mar 2014. P. 1-40.
7. Шарапудинов И. И. Приближение дискретных функций и многочлены
Чебышева, ортогональные на равномерной сетке // Мат. заметки. 2000.
Т. 67, № 3. С. 460-470. DOI: 10.4213/mzm858.
8. Шарапудинов И. И. Приближение функций с переменной гладкостью
суммами Фурье Лежандра // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 5. С. 143-160.
DOI: 10.4213/sm480.
9. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства операторов
\(\cal Y_n+2r(f)\) и их дискретных аналогов //
Мат. заметки. 2002. Т. 72, № 5. С. 765-795. DOI: 10.4213/mzm466.
10. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ультрасферическим полиномам
и их аппроксимативные свойства // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 3. С.
115-148. DOI: 10.4213/sm723.
11. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам.
Махачкала: Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 c.
12. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по полиномам Чебышева,
ортогональным на равномерной сетке // Мат. заметки. 2005. Т. 78, №
3. C. 442-465. DOI: 10.4213/mzm2599.
13. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по
полиномам Лежандра на классах \(W^r\) // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 3.
C. 135-154. DOI: 10.4213/sm1539.
14. Шарапудинов Т. И. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по
полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке // Вестн.
Дагестан. науч. центра РАН. 2007. Т. 29. C. 12-23.
15. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства средних типа
Валле-Пуссена частичных сумм смешанных рядов по полиномам Лежандра
// Мат. заметки. 2008. Т. 84, № 3. C. 452-471. DOI:
10.4213/mzm5541.
16. Шарапудинов И. И., Муратова Г. Н. Некоторые свойства \(r\)-кратно
интегрированных рядов по системе Хаара // Изв. Сарат. ун-та. Нов.
сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, № 1. C.
68-76.
17. Шарапудинов И. И., Шарапудинов Т. И. Смешанные ряды по полиномам
Якоби и Чебышева и их дискретизация // Мат. заметки. 2010. Т. 88, №
1. C. 116-147. DOI: 10.4213/mzm6607.
18.Шарапудинов И. И. Системы функций, ортогональных по Соболеву,
порожденные ортогональными функциями // Современные проблемы теории
функций и их прил. Материалы 18-й междунар. Саратовской зимней шк.
2016. C. 329-332.
19. Trefethen L. N. Spectral methods in Matlab. Fhiladelphia: SIAM,
2000.
20. Trefethen L. N. Finite Difference and Spectral Methods for
Ordinary and Partial Differential Equation. Cornell Univ., 1996.
21. Магомед-Касумов М. Г. Приближенное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений с использованием смешанных рядов по
системе Хаара // Современные проблемы теории функций и их прил.
Материалы 18-й междунар. Саратовской зимней шк. 2016. C. 176-178.
22. Шарапудинов И. И. Многочлены, ортогональные на дискретных
сетках. Махачкала: Изд-во Даг. гос. пед. ун-та, 1997.
23. Gasper G. Positivity and special function // Theory and Appl.
Spec. Funct / Ed. by R. A. Askey. N.Y.: Acad. Press Inc., 1975. P.
375-433.
