Романьков В. А., Хисамиев Н. Г., Конырханова А. А.
Алгебраически и вербально замкнутые подгруппы и ретракты конечно порожденных нильпотентных группИзучаются алгебраически и вербально замкнутые подгруппы и ретракты конечно порожденных нильпотентных групп. Особое внимание уделено свободным нильпотентным группам и группам UT$_n(\mathbb{Z})$ унитреугольных $(n\times n)$-матриц над кольцом $\mathbb{Z}$ целых чисел для произвольного $n$. Замечено, что множества ретрактов конечно порожденных нильпотентных групп совпадают с множествами их алгебраически замкнутых подгрупп. Приведен пример, показывающий, что вербально замкнутая подгруппа конечно порожденной нильпотентной группы может не быть ретрактом (в рассматриваемом случае равносильно: алгебраически замкнутой подгруппой). Другой пример показывает, что пересечение ретрактов (алгебраически замкнутых подгрупп) свободной нильпотентной группы может не быть ретрактом (алгебраически замкнутой подгруппой) этой группы. Установлены необходимые условия, выполненные на ретрактах произвольных конечно порожденных нильпотентных групп. Получены достаточные условия для свойства «быть ретрактом» конечно порожденной нильпотентной группы. Представлен алгоритм, определяющий свойство «быть ретрактом» для подгруппы свободной нильпотентной группы конечного ранга (решение проблемы Мясникова). Также получен общий результат об экзистенциально замкнутых подгруппах конечно порожденных нильпотентных групп без кручения с циклическим центром, из которого следует, в частности, что при любом $n$ группа UT$_n(\mathbb{Z})$ не содержит собственных экзистенциально замкнутых подгрупп.
V. A. Roman’kov, N. G. Khisamiev, A. A. Konyrkhanova
Algebraically and verbally closed subgroups and retracts of finitely generated nilpotent groupsWe study algebraically and verbally closed subgroups and retracts of finitely generated nilpotent groups. A special attention is paid to free nilpotent groups and the groups
UT$_n(\mathbb{Z})$ of unitriangular $(n\times n)$-matrices over the ring $\mathbb{Z}$ of integers for arbitrary $n$. We observe that the sets of retracts of finitely generated nilpotent groups coincides with the sets of their algebraically closed subgroups. We give an example showing that a verbally closed subgroup in a finitely generated nilpotent group may fail to be a retract (in the case under consideration, equivalently, fail to be an algebraically closed subgroup). Another example shows that the intersection of retracts (algebraically closed subgroups) in a free nilpotent group may fail to be a retract (an algebraically closed subgroup) in this group. We establish necessary conditions fulfilled on retracts of arbitrary finitely generated nilpotent groups. We obtain sufficient conditions for the property of being a retract in a finitely generated nilpotent group. An algorithm is presented determining the property of being a retract for a subgroup in free nilpotent group of finite rank (a solution of a problem of Myasnikov). We also obtain a general result on existentially closed subgroups in finitely generated torsion-free nilpotent with cyclic center, which in particular implies that for each $n$ the group UT$_n(\mathbb{Z})$ has no proper existentially closed subgroups.
DOI 10.17377/smzh.2017.58.316
Ключевые слова: нильпотентная группа, ретракт, алгебраически (вербально) замкнутая подгруппа, группа целочисленных унитреугольных матриц.Полный текст статьи / Full texts: