Васкевич В. Л.
Сферические кубатурные формулы в пространствах СоболеваИзучаются последовательности кубатурных формул на единичной сфере многомерного евклидова пространства. Множества узлов рассматриваемых кубатурных формул последовательно вкладываются друг в друга, образуя в пределе плотное на исходной сфере подмножество. В качестве области действия кубатурных формул, т. е. в качестве класса подынтегральных функций, выступают сферические пространства Соболева. Допускается, что эти пространства могут иметь дробную гладкость. Доказано, что среди всевозможных сферических кубатурных формул с заданной совокупностью узлов существует и единственна формула с наименьшей нормой функционала погрешности — оптимальная. Установлено, что веса оптимальной кубатурной формулы являются решением специальной невырожденной системы линейных уравнений. Доказано, что при неограниченном возрастании числа узлов нормы функционалов погрешности оптимальных кубатурных формул стремятся к нулю.
V. L. Vaskevich
Spherical cubature formulas in Sobolev spacesWe study sequences of cubature formulas on the unit sphere in a multidimensional Euclidean space. The grids for the cubature formulas under consideration embed in each other consecutively, forming in the limit a dense subset on the initial sphere. As the domain of cubature formulas, i.e. as the class of integrands, we take spherical Sobolev spaces. These spaces may have fractional smoothness. We prove that, among all possible spherical cubature formulas with given grid, there exists and is unique a formula with the least norm of the error, an optimal formula. The weights of the optimal cubature formula are shown to be solutions to a special nondegenerate system of linear equations. We prove that the errors of cubature formulas tend to zero as the number of nodes grows indefinitely.
DOI 10.17377/smzh.2017.58.305
Ключевые слова: сферическая кубатурная формула, функционал погрешности, пространство Соболева на многомерной сфере, константа и функция вложения, оптимальная формула.Полный текст статьи / Full texts: