Павленко В. Н., Потапов Д. К.
Об оценках спектрального параметра эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями

Рассматриваются два класса эллиптических спектральных задач с однородными граничными условиями Дирихле и разрывными нелинейностями (параметр входит в нелинейность мультипликативно). Для первого класса задач нелинейность неотрицательная, обращается в нуль при значениях фазовой переменной, не превосходящих некоторого положительного числа $c$, имеет линейный рост на бесконечности по фазовой переменной $u$ и единственный разрыв при $u=c$. Доказывается, что для любого значения спектрального параметра, большего минимального собственного значения дифференциальной части уравнения с однородным граничным условием Дирихле, соответствующая краевая задача имеет нетривиальное сильное решение. При этом отвечающая ему свободная граница имеет меру нуль. Получена оценка снизу для спектрального параметра. Во втором классе задач дифференциальная часть уравнения формально самосопряженная, а нелинейность имеет подлинейный рост на бесконечности. Устанавливается теорема об оценке сверху спектрального параметра в такой ситуации.

V. N. Pavlenko, D. K. Potapov
Estimates for a spectral parameter in elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearities

Under study are the two classes of elliptic spectral problems with homogeneous Dirichlet conditions and discontinuous nonlinearities (the parameter occurs in the nonlinearity multiplicatively). In the former case the nonlinearity is nonnegative and vanishes for the values of the phase variable not exceeding some positive number $c$; it has linear growth at infinity in the phase variable $u$ and the only discontinuity at $u=c$. We prove that for every spectral parameter greater than the minimal eigenvalue of the differential part of the equation with the homogeneous Dirichlet condition, the corresponding boundary value problem has a nontrivial strong solution. The corresponding free boundary in this case is of zero measure. A lower estimate for the spectral parameter is established as well. In the latter case the differential part of the equation is formally selfadjoint and the nonlinearity has sublinear growth at infinity. Some upper estimate for the spectral parameter is given in this case.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.211
Ключевые слова: нелинейная спектральная задача, эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность, свободная граница, полуправильное решение, оценки спектрального параметра.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file