Бикчентаев А. М.
Разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах

Пусть $P, Q$ — идемпотенты в гильбертовом пространстве $\mathscr H$, $Q=Q^*$, $I$ — тождественный оператор в $\mathscr H$. Если оператор $U=P-Q$ — изометрия, то $U=U^*$ унитарен и $Q=I-P$. Для точных нижней и верхней граней пары проекторов $P, Q$ в $\mathscr H$ и $P-Q$ установлено двойное неравенство. Получены приложения этого неравенства к характеризации следа и к идеальным $F$-псевдонормам на $W^*$-алгебре. Пусть $\varphi$ — след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathscr A$, трипотенты $P, Q$ принадлежат $\mathscr A$. Если $P-Q$ принадлежит идеалу определения следа $\varphi$, то $\varphi (P-Q)$ является вещественным числом. Установлена перестановочность некоторых операторов.

A. M. Bikchentaev
Differences of idempotents in $C^*$-algebras

Suppose that $P$ and $Q$ are idempotents on a Hilbert space $\mathscr H$, while $Q=Q^*$ and $I$ is the identity operator in $\mathscr H$. If $U=P-Q$ is an isometry then $U=U^*$ is unitary and $Q=I-P$. We establish a double inequality for the infimum and the supremum of $P$ and $Q$ in $\mathscr H$ and $P-Q$. Applications of this inequality are obtained to the characterization of a trace and ideal $F$-pseudonorms on a $W^*$-algebra. Let $\varphi$ be a trace on the unital $C^*$-algebra $\mathscr A$ and let tripotents $P$ and $Q$ belong to $\mathscr A$. If $P-Q$ belongs to the domain of definition of $\varphi$ then $\varphi (P-Q)$ is a real number. The commutativity of some operators is established.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.201
Ключевые слова: гильбертово пространство, линейный оператор, идемпотент, трипотент, проектор, унитарный оператор, ядерный оператор, операторное неравенство, перестановочность, $W^*$-алгебра, $C^*$-алгебра, след, идеальная $F$-норма.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file