Романьков В. А.
Коммутаторная ширина некоторых относительно свободных алгебр Ли и нильпотентных групп

Вычислены точные значения коммутаторной ширины абсолютно свободных и свободных разрешимых колец Ли конечного ранга, а также свободных и свободных разрешимых алгебр Ли конечного ранга над произвольным полем. Вычислены значения коммутаторной ширины свободных нильпотентных и свободных метабелевых нильпотентных алгебр Ли ранга два или ступени нильпотентности два над произвольным полем. Значения коммутаторной ширины для свободных нильпотентных и свободных метабелевых нильпотентных алгебр Ли конечного ранга не меньше трех над произвольным полем вычислены при условии, что ступень нильпотентности превышает ранг не менее, чем на два. В случае свободных нильпотентных и свободных метабелевых нильпотентных колец Ли произвольного конечного ранга, а также свободных нильпотентных и свободных метабелевых нильпотентных алгебр Ли над полем рациональных чисел произвольного конечного ранга значения коммутаторной ширины вычислены без каких-либо ограничений.
 Из полученных результатов, в частности, следует, что свободные или неабелевы свободные разрешимые кольца Ли различныхконечных рангов, а также свободные или неабелевы свободные разрешимые алгебры Ли над произвольным полем различных конечных рангов элементарно не эквивалентны между собой.
 Вычислены точные значения коммутаторной ширины свободных $/mathbb Q$-степенных нильпотентных, свободных нильпотентных, свободных метабелевых и свободных метабелевых нильпотентных групп конечного ранга.

V. A. Roman´kov
The commutator width of some relatively free lie algebras and nilpotent groups

We determine the exact values of the commutator width of absolutely free and free solvable Lie rings of finite rank, as well as free and free solvable Lie algebras of finite rank over an arbitrary field. We calculate the values of the commutator width of free nilpotent and free metabelian nilpotent Lie algebras of rank 2 or of nilpotency class 2 over an arbitrary field. We also find the values of the commutator width for free nilpotent and free metabelian nilpotent Lie algebras of finite rank at least 3 over an arbitrary field in the case that the nilpotency class exceeds the rank at least by 2. In the case of free nilpotent and free metabelian nilpotent Lie rings of arbitrary finite rank, as well as free nilpotent and free metabelian nilpotent Lie algebras of arbitrary finite rank over the field of rationals, we calculate the values of commutator width without any restrictions. It follows in particular that the free or nonabelian free solvable Lie rings of distinct finite ranks, as well as the free or nonabelian free solvable Lie algebras of distinct finite ranks over an arbitrary field are not elementarily equivalent to each other. We also calculate the exact values of the commutator width of free $/mathbb Q$-power nilpotent, free nilpotent, free metabelian, and free metabelian nilpotent groups of finite rank.

DOI 10.17377/smzh.2016.57.410
Ключевые слова: свободная (разрешимая, метабелева, нильпотентная, метабелева нильпотентная) алгебра Ли, свободное (разрешимое, метабелево, нильпотентное, метабелево нильпотентное) кольцо Ли, свободная ($/mathbb Q$-степенная нильпотентная, метабелева, нильпотентная, метабелева нильпотентная) группа, коммутаторная ширина, элементарная эквивалентность.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file