Бородин О. В., Иванова А. О.
Вершинно-граневый вес ребер в 3-многогранниках

Весом w(e) ребра e в 3-многограннике называется сумма степеней двух вершин и двух граней, инцидентных e. В 1940 г. Лебег доказал, что каждый 3-многогранник без так называемых пирамидальных ребер содержит ребро e с w(e) ≤ 21. В 1995 г. эта верхняя оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до 20. Отметим, что
в n-пирамиде каждое ребро пирамидально и имеет вес n + 9. Недавно мы построили
3-многогранник без пирамидальных ребер, удовлетворяющий неравенству w(e) ≥ 18 для каждого e.
Цель статьи — доказать, что каждый 3-многогранник без пирамидальных ребер содержит ребро e с w(e) ≤ 18.
В других терминах это означает, что каждая плоская четыреангуляция без граней, инцидентных трем вершинам степени 3, содержит грань с суммой степеней вершин не более 18, причем оценка точна.

Borodin O. V. , Ivanova A. O.
The vertex-face weight of edges in 3-polytopes

The weight w(e) of an edge e in a 3-polytope is the maximum degree-sum of the two vertices and two faces incident with e. In 1940, Lebesgue proved that each 3-polytope without the so-called pyramidal edges has an edge e with w(e) ≤ 21. In 1995, this upper bound was improved to 20 by Avgustinovich and Borodin. Note that each edge of the n-pyramid is pyramidal and has weight n + 9. Recently, we constructed a 3-polytope without pyramidal edges satisfying w(e) ≥ 18 for each e.
The purpose of this paper is to prove that each 3-polytope without pyramidal edges has an edge e with w(e) ≤ 18.
In other terms, this means that each plane quadrangulation without a face incident with three vertices of degree 3 has a face with the vertex degree-sum at most 18, which is tight.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file