Байкин А. Н., Водопьянов С. К.
Емкостные оценки, теоремы Лиувилля и об устранении особенностей для отображений с ограниченным (p,q)-искажением
Отображения с ограниченным весовым (p, q)-искажением представляют собой естественное обобщение известного в литературе класса отображений с ограниченным искажением, входящего в двухиндексную шкалу при p = q = n и отсутствии весовых функций. В случае n − 1 < q ≤ p = n отображения с ограниченным (p, q)-искажением исследовались ранее в ряде работ при дополнительном предположении  -свойства Лузина данного отображения. В данной работе изложены первоначальные сведения теории отображений с ограниченным (p, q)-искажением, полученные без дополнительных аналитических предположений. Основу теории составляют новые аналитические свойства перенесенных функций: в частности, доказано, что на образе точек ветвления градиент перенесенной функции равен нулю почти всюду. Выведены оценки на емкости образов конденсаторов для отображений с ограниченным (p, q)-искажением. Получены теоремы типа Лиувилля, теоремы о затирании особенностей для отображений данного класса и дано их применение к классификации многообразий.
|
Baykin A. N., Vodop’yanov S. K.
Capacity estimates, Liouville’s theorem, and singularity removal for mappings with bounded (p, q)-distortion
The mappings with bounded weighted (p, q)-distortion are natural generalizations of the class of mappings with bounded distortion which appears as a doubly indexed scale for p = q = n in the absence of weight functions. In case n − 1 < q ≤ p = n, the mappings with bounded (p, q)-distortion were studied previously in a series of articles under the additional assumption that the mapping enjoys Luzin’s -property. In this article we present the first facts of the theory of mappings with bounded (p, q)-distortion which are obtained without additional analytical assumptions. The core of the theory consists of the new analytical properties of pushforward functions; in particular, we prove that the gradient of the pushforward function vanishes almost everywhere on the image of the branch set. Some estimates are given on the capacity of the images of condensers under mappings with bounded (p, q)-distortion. We obtain Liouville-type theorems and the singularity removal theorems for the mappings of this class, and we apply these theorems to classifying manifolds.
|
