Меньшов А. В.
Случайные системы уравнений в свободных абелевых группах
Исследуется разрешимость случайных систем уравнений в свободной абелевой группе  m конечного ранга m. Пусть SAT( m, k, n) и  обозначают множества всех систем из n уравнений от k неизвестных в группе m, разрешимых соответственно в m и  m. Доказано, что асимптотическая плотность ρ () множества равна 1 при n ≤ k и 0 при n > k. Для множества SAT( m, k, n) при n < k получены оценки для нижней и верхней асимптотических плотностей, показано, что они лежат в интервале от  до  , где ς (s) — дзета-функция Римана. При n ≤ k установлена связь между асимптотической плотностью множества SAT( m, k, n) и суммами обратных наибольших делителей по матрицам полного ранга. Исходя из этого результата выдвинута гипотеза относительно асимптотической плотности множества SAT( m, n, n). Доказано, что
ρ () = 0 при n > k. |
Men’shov A. V.
Random systems of equations in free abelian groups
We study the solvability of random systems of equations on the free abelian group m of rank m. Denote by SAT( m , k, n) and the sets of all systems of n equations of k unknowns in m satisfiable in m and m respectively. We prove that the asymptotic density ρ () of the set equals 1 for n ≤ k and 0 for n > k. As regards, SAT( m, k, n) for n < k, some new estimates are obtained for the lower and upper asymptotic densities and it is proved that they lie between and , where ς (s) is the Riemann zeta function. For n ≤ k, a connection is established between the asymptotic density of SAT( m, k, n) and the sums of inverse greater divisors over matrices of full rank. Starting from this result, we make a conjecture about the asymptotic density of SAT( m, n, n). We prove that ρ () = 0 for n > k.
|
