Дубинин В. Н., Прилепкина Е. Г.
Теоремы искажения для функций, мероморфных и однолистных в круговом кольце

Применяются емкостный подход и симметризация к доказательству теорем искажения для аналитических в кольце функций. Показывается, что классическая оценка Тейхмюллера емкости двусвязной области дает серию известных и новых неравенств для однолистных функций. В частности, дополняются результаты Гретша, Дюрена и Хукемана. С помощью диссимметризации конденсаторов устанавливаются точные оценки локального искажения и искажения линий уровня в n ≥ 2 симметричных направлениях. В терминах функций Робена приводится аналог неравенства Нехари — общая теорема искажения для нескольких точек с учетом граничного поведения функции и описанием случаев равенства. Как следствия даны аналоги некоторых неравенств Солынина, Васильева и Поммеренке, полученные ими ранее для однолистных и ограниченных в круге функций. Доказывается теорема искажения с участием производных Шварца в симметричных точках на единичной окружности.

Dubinin V. N., Prilepkina E. G.
Distortion theorems for univalent meromorphic functions on an annulus

We apply the capacity and symmetrization methods to distortion theorems for analytic functions in an annulus. We show that the classical Teichmüller estimate for the capacity of a doubly-connected domain yields a series of the already known and new inequalities for univalent functions. In particular, we supplement the results of Grötzsch, Duren, and Huckemann. Using the dissymmetrization of condensers we establish sharp estimates for local distortion and the distortion of level curves in n ≥ 2 symmetric directions. In terms of Robin functions we give an analog of the Nehari inequality: some general distortion theorem for several points taking into account the boundary behavior of the function and describing the cases of equalities. As a corollary we give analogs of some inequalities of Solynin, Pommerenke, and Vasil’ev that were obtained previously for univalent and bounded functions in a disk. We prove a distortion theorem that involves the Schwarzian derivatives at symmetric points on the unit circle.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (515 KB)
• PostScript file (985 KB)