Тронин С. Н.
Операды и многообразия алгебр, определяемые полилинейными тождествами

Показано, что многообразия алгебр над абстрактными клонами и над соответствующими им операдами рационально эквивалентны. Введен класс операд (названных для определенности коммутативными), многообразия алгебр над которыми в некотором смысле походят на категории модулей над коммутативными кольцами. В частности, для алгебр над такими операдами имеет смысл понятие полилинейного отображения и тензорного произведения алгебр. Примерами многообразий над коммутативными операдами являются категории модулей над коммутативными кольцами и категория конвексоров. По аналогии с теорией линейных мультиоператорных алгебр развивается теория C-линейных мультиоператорных алгебр, в частности алгебр, определяемых C-полилинейными тождествами (здесь C — коммутативная операда). Вводятся и изучаются симметрические C-линейные операды. Основной результат работы: многообразие мультиоператорных C-линейных алгебр определяется C-полилинейными тождествами тогда и только тогда, когда оно рационально эквивалентно многообразию алгебр над C-линейной симметрической операдой.

Tronin S. N.
Operads and varieties of algebras defined by polylinear identities

We show that varieties of algebras over abstract clones and over the corresponding operads are rationally equivalent. We introduce the class of operads (which we call commutative for definiteness) such that the varieties of algebras over these operads resemble in a sense categories of modules over commutative rings. In particular, the notions of a polylinear mapping and the tensor product of algebras. The categories of modules over commutative rings and the category of convexors are examples of varieties over commutative operads. By analogy with the theory of linear multioperator algebras, we develop a theory of C-linear multioperator algebras; in particular, of algebras, defined by C-polylinear identities (here C is a commutative operad). We introduce and study symmetric C-linear operads. The main result of this article is as follows: A variety of C-linear multioperator algebras is defined by C-polylinear identities if and only if it is rationally equivalent to a variety of algebras over a symmetric C-linear operad.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (530 KB)
• PostScript file (1,1 MB)