 Séminaires et Congrès - 3 - pages 243-273 | |
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Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle - Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné (Nice 1996)
Séminaires et Congrès 3 (1998), 283 pages
On the History of Hilbert's Twelfth Problem
Norbert Schappacher
Séminaires et Congrès 3 (1998), 243-273
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Résumé :
Le douzième problème de Hilbert propose une façon conjecturale d'engendrer les extensions abéliennes d'un corps de nombres, en généralisant le théorème dit de Kronecker et Weber (toutes les extensions abéliennes de 
sont engendrées par des racines de l'unité) ainsi que les extensions des corps quadratiques imaginaires (qui sont engendrées par des valeurs de fonctions modulaires et elliptiques liées aux courbes elliptiques à multiplication complexe). La première partie de l'exposé est centrée autour de la conjecture incorrecte de Hilbert dans le cas du corps quadratique imaginaire. Elle est dicutée aussi bien du point de vue historique (pendant quatorze ans, l'autorité de Hilbert empêcha la découverte de cette erreur), que du point de vue mathématique, en analysant les interprétations algébro-géometriques des énoncés différents relatifs à ce cas et de leurs traditions. On discute ensuite des analogues en dimension supérieure. Les développements récents (motifs, etc., aussi points de Heegner) sont mentionnés à la fin.
Abstract:
Hilbert's 12th problem conjectures that one might be able to generate all abelian extensions of a given algebraic number field in a way that would generalize the so-called theorem of Kronecker and Weber (all abelian extensions of can be generated by roots of unity) and the extensions of imaginary quadratic fields (which may be generated from values of modular and elliptic functions related to elliptic curves with complex multiplication). The first part of the lecture is devoted to the false conjecture that Hilbert made for imaginary quadratic fields. This is discussed both from a historical point of view (in that Hilbert's authority prevented this error from being corrected for 14 years) and in mathematical terms, analyzing the algebro-geometric interpretations of the different statements and their respective traditions. After this, higher-dimensional analogues are discussed. Recent developments in this field (motives, etc., also Heegner points) are mentioned at the end.
Class. math. : 01A60, 20-03, 11G15, 11R37