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PREMESSO
Sin da quando si era studenti, intendo quelli della mia generazione, negli anni sessanta, i nostri docenti dei corsi di matematica all'università sottolineavano appena ne avevano l'occasione che la matematica pura era l'unica vera matematica. Che le applicazioni non avevano nessun interesse per un "vero" matematico. Un'idea certo non nuova, basti leggere alcune frasi del celebre libro di G.H. Hardy "Apologia di un matematico":

La migliore matematica non solo è bella ma è anche seria, importante, se preferite, ma il termine è molto ambiguo, mentre seria esprime meglio quello che voglio dire. " Seria non vuol dire, come si potrebbe pensare, piena di applicazioni pratiche. Al contrario "la maggior parte della matematica è "inutile"; solo una piccola parte della matematica ha un'utilità pratica e quella piccola parte è relativamente noiosa. La "serietà" di un teorema matematico non dipende dalle sue applicazioni pratiche,...ma dalla significatività delle idee matematiche che esso mette in relazione. In termini approssimativi si può dire che un'idea matematica è "significativa" se la si può collegare in modo naturale ed illuminante a una vasta rete di altre idee matematiche.[1]

E' naturale quindi che noi studenti siamo stati formati con queste idee in testa. Diventati matematici e dovendo insegnare a nostra volta ci siamo trovati davanti ad una situazione che era di molto mutata, almeno in Italia. Prima di tutto dopo un aumento negli anni sessanta e settanta degli studenti universitari, anche di quelli di matematica, i numeri si sono venuti assestando ed in particolare il numero degli studenti di matematica si è via via ridotto. Questo ha comportato che i nuovi posti di insegnamento di materie di matematica si ottenevano sempre più spesso in corsi e facoltà non di matematica, caso tipico Architettura dove vi è stato un enorme e irrazionale aumento del numero degli studenti e degli insegnamenti negli anni ottanta e novanta. Fenomeno che è continuato, almeno per quanto riguarda il numero di insegnamenti, con il passaggio al sistema del 3 + 2, tre anni per la laurea breve più due per quella specialistica. Inoltre negli ultimi anni è cambiato l'atteggiamento dei matematici nei riguardi della cosiddetta "matematica applicata". Ai giorni nostri si può tranquillamente affermare che non ci sono più pregiudizi per i rapporti tra matematici "puri" ed "applicati".

Pur tuttavia ancora nel 2004 alcuni matematici reputano una sorta di "punizione" andare ad insegnare in un corso di matematica nella facoltà di architettura.

Questo atteggiamento è motivato da almeno due cause: il poco spazio che hanno i corsi di matematica per architettura, nel senso che si tende sempre di più a ridurre il numero delle ore di insegnamento ed a ridurre drasticamente gli argomenti trattati. Credo che l'ideale di un corso di matematica per architettura sia, per la maggior parte degli architetti, un corso di "ricette", come Robert Musil diceva essere la opinione degli ingegneri della matematica ne "L'uomo senza qualità". Ricette da applicare senza porsi alcun perché. Il corollario ovvio di questa idea è che sarebbe molto meglio che gli architetti stessi tenessero questi corsi-ricetta senza scomodare dei matematici ad insegnare a fare qualche derivata e qualche integrale. E' pur vero che i corsi di matematica servono per i corsi tecnici di architettura, ma è anche vero che l'atteggiamento della maggior parte degli studenti e dei docenti di architettura è che in fondo sono poi gli ingegneri che devono saper fare i conti strutturali.

E' certo molto difficile collaborare con gli altri docenti dei corsi non matematici di architettura dato che nella maggioranza dei casi ignorano (e desiderano ignorare) che cosa si fa e si potrebbe fare in un corso di matematica. Ricordo ancora il primo anno che ho iniziato a insegnare ad architettura all'università di Roma "La Sapienza" nel 1996. Nel presentare i corsi il preside della facoltà fece un elogio dell'architetto come creativo ed artista descrivendo i corsi come una sorta di supporto alla capacità dei futuri architetti di osservare, cogliere, sentire, quasi fiutare nell'aria le nuove tendenze dell'arte e dell'architettura. Gli architetti come creativi. Quindi a che serve quell' arida materia che è la matematica?

Ho casualmente insegnato per un anno allo IUAV di Venezia nel 1992, prima di trasferirmi all'università di Roma. Dopo aver insegnato per qualche anno mi sono posto il problema, anche per la "noia" di fare lezioni sempre allo stesso modo, di cambiare radicalmente le cose. Ho lasciato il corso di laurea in architettura e sono passato a quello di disegno industriale. Sperando in una maggior fantasia. In ogni caso ho ritenuto che la cosa migliore che potessi fare era non di scrivere l'ennesimo libro di lezioni ed esercizi di analisi matematica e geometria analitica (ovviamente il grande vantaggio di scrivere libri di questo genere sta nel fatto che centinaia di studenti sono "obbligati" a comprarli, con ovvia soddisfazione per chi li ha scritti) ma di cercare di far comprendere come la matematica abbia una grande valenza culturale, possa profondamente incidere sul nostro modo di pensare e quindi anche sul modo di progettare degli architetti che magari non se ne rendono nemmeno conto.

L'idea nasceva figlia del progetto "Matematica ed arte" nato nel 1976 e poi divenuto nel 1996 il più vasto "Matematica e cultura". [2, 3, 4, 5] Riprendendo quella presentazione dei corsi a cui avevo assistito, l'ambizione era di far capire come tra le tante cose da tener presenti, da osservare, da comprendere, ci doveva essere anche la matematica. Non solo perché nella matematica "è l'essenza dello spirito" ma anche perché la matematica può essere una fonte inesauribile di idee, suggerimenti, non solo di "ricette". Oltre ad essere una strordinaria "scuola di adattamento" a problemi che non sono mai stati affrontati.

Non volevo però guardare alla questione in "astratto" (l'astrazione è una delle grandi colpe addossate alla matematica da chi non capisce che anzi questo è il suo grande vantaggio [6].

Volevo quindi partire da un esempio concreto in cui il legame tra la matematica, la cultura, ha profondamente mutato il nostro modo di guardare il mondo intorno a noi, e quindi anche il modo di pensare e di operare degli architetti. Il tema era quello dello spazio, del mutamento dell'idea di spazio, avendo come guida ideale quello straordinario libro che è "Flatland" [7] di E. Abbott. Un libro pubblicato nel 1884 ma molto attuale, se non ci si ferma alla superficie e non si considera il racconto solo una piuttosto scontata critica della società vittoriana. Avendo realizzato un film in animazione su "Flatland" [8], ho avuto la esperienza di dover "progettare" lo spazio di cui parla il libro, i personaggi, la città, l'universo descritto dal protagonista, il Quadrato. Questo è il motivo per il quale il libro che ho scritto su questi temi si chiama "Mathland"[9].

In questo articolo vorrei raccogliere alcuni degli argomenti di cui parla il libro che penso possa essere di interesse per gli architetti, sia studenti che professionisti. Una breve lettura di un'avventura del pensiero dell'uomo nel regno dei rapporti tra matematica e cultura.

L'esempio che ho scelto è quello dell'idea di spazio. Di come muta l'idea e la percezione dello spazio che ci circonda sino ad arrivare alle attualissime forme della architettura virtuale.

INTRODUZIONE

Nell'estate del 2002 si è tenuta a Venezia la Biennale di Architettura. Tra i tanti progetti e le tante idee in mostra, alcune molto interessanti, altre solo più o meno stravaganti, vi era il progetto per un museo del mondo Ellenico, del gruppo di architetti chiamato Anamorphosis Architects, formato da Nikos Georgiadis, Tota Mamalaki, Kostas Kakoyiannis, Vaios Zitounolis (fig. 1).

Fig. 1. Anamorphosis Architects, Athens, Greece, "Project for the Museum of the Hellenic Wolrd"(2002) © Anamorphosis architects

Progetto in cui grande enfasi era data alla spazialità della costruzione, un grande spazio continuo in trasformazione, con quelle linee curve che si avvolgono a spirale contorcendosi, e al centro, al centro di una grande spirale, la sede espositiva del periodo classico della civiltà greca. Quell'edificio era in qualche senso l'inizio e la fine (temporanea) di un discorso iniziato con la geometria Euclidea migliaia di anni fa. Una geometria che è stata alla base, insieme alla filosofia greca, del formarsi della civiltà occidentale come la conosciamo oggi. Senza dimenticare ovviamente l'influenza di tante altre civiltà, prima tra tutti quella Islamica che ha permesso all'Europa di riscoprire la civiltà Greca dimenticata.

Ci sono alcune questioni da indagare per capire almeno in parte come hanno contribuito nel corso dei secoli elementi filosofici, artistici, scientifici, culturali in una parola, alla sintesi di un progetto come quello per la civiltà Ellenica. Una sorta di viaggio all'interno della civiltà occidentale degli ultimi duemila anni e più, privilegiando gli aspetti culturali legati alla geometria, alla matematica, all' architettura.

LO SPAZIO È MATEMATICA

"Parmi di scorgere ferma credenza che nel filosofare sia necessario appoggiarsi all'opinioni di qualche celebre autore, sì che la mente nostra, quando non si maritasse col discorso d'un altro, ne dovesse in tutto rimanere sterile ed infeconda; e forse stima che la filosofia sia un libro e una fantasia d'un uomo, come l'Iliade e l'Orlando Furioso, libri ne' quali la meno importante cose è che quello che vi è scritto sia vero. La cosa non istà così. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto."

Parole di Galileo Galilei scritte ne Il Saggiatore, pubblicato in Roma nel 1623. Senza le strutture matematiche non si può comprendere la natura. La matematica è il linguaggio della natura. Facciamo un salto di molti secoli.

Nel 1904 un famoso pittore così scriveva ad Emile Bernard:

Traiter la nature par le cylindre, la sphère, le cône, le tous mis en perspective, soit que chaque côté d'un objet, d'un plan, se dirige vers un point central. Les lignes parallèles à l'horizon donnent l'étendue, soit une section de la nature….Les lignes perpendiculaires à cet horizon donnent le profondeur. Or, la nature, pour nous hommes, est plus en profondeur qu'en surface, d'où la nécessité d'introduire dans nos vibrations de lumière, représentée par les rouges et le jaunes, une somme suffisante de bleutés, pour faire sentir l'air.

Commentava lo storico dell'arte Lionello Venturi che di cilindri, di sfere e di coni non se ne vedono nelle pitture di Cézanne, che di lui si tratta, quindi la frase esprimeva un'ideale aspirazione ad un'organizzazione di forme trascendenti la natura, non altro.

Negli stessi anni in cui Cézanne dipingeva, anzi qualche tempo prima, il panorama della geometria era cambiato dagli anni di Galileo. La geometria nel corso della seconda metà del XIX secolo era profondamente mutata. Lobacevskij e Bolyai tra gli anni 1830-1850 costruiscono i primi esempi di geometrie non-euclidee, in cui non era valido il famoso V° postulato di Euclide sulle rette parallele. Non senza dubbi e contrasti, Lobacevskij chiamerà la sua geometria (oggi denominata geometria non-euclidea iperbolica) geometria immaginaria, tanto era in contrasto con il senso comune. La geometria non-euclidea restò ancora per alcuni anni un aspetto marginale della geometria, una sorta di curiosità, fino a che non venne incorporata nella matematica come sua parte integrante attraverso le concezioni generali di G.F.B. Riemann (1826-1866). Nel 1854 Riemann tenne davanti alla Facoltà dell'Università di Gottinga la famosa dissertazione dal titolo Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zur Grunde liegen (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria), che verrà pubblicata solo nel 1867. Nella sua presentazione Riemann sosteneva una visione globale della geometria come studio di varietà di un numero qualsiasi di dimensioni in qualsiasi genere di spazio. Secondo la concezione di Riemann la geometria non doveva neppure necessariamente trattare di punti o di spazio nel senso ordinario, ma d'insiemi di n-ple ordinate. Nel 1872 Felix Klein (1849-1925), divenuto professore ad Erlangen, nel discorso inaugurale, noto con il nome Programma di Erlangen, descriveva la geometria come lo studio delle proprietà delle figure aventi carattere invariante rispetto a un particolare gruppo di trasformazioni. Di conseguenza ogni classificazione dei gruppi di trasformazione diventava una codificazione delle diverse geometrie. Ad esempio, la geometria Euclidea del piano è lo studio delle proprietà delle figure che rimangono invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni rigide del piano formato dalle traslazioni e dalle rotazioni. Jules Henri Poincaré affermava che "gli assiomi geometrici non sono né giudizi sintetici a priori, né fatti sperimentali. Sono convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non è limitata dalla necessità di evitare ogni contraddizione. E' così che i postulati possono restare rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che hanno determinato la loro adozione non sono che approssimative.

In altri termini, gli assiomi della geometria non sono che definizioni travestite. Pertanto, che pensare della domanda: E' vera la geometria euclidea? Essa non ha nessun senso. Così come non ha senso domandarsi se il sistema metrico sia vero e siano falsi i vecchi sistemi di misura; o se le coordinate cartesiane siano vere, e false quelle polari. Una geometria non può essere più vera di un'altra; può solo essere più comoda. La geometria euclidea è, e resterà, la più comoda."

Si deve sempre a Poincaré la nascita ufficiale di quel settore della matematica che oggi si chiama Topologia con il volume Analysis Sitûs, traduzione latina del nome greco, pubblicato nel 1895: "Per quanto mi riguarda, tutte le diverse ricerche delle quali mi sono occupato mi hanno condotto all'Analysis Sitûs (letteralmente Analisi della posizione)." Poincaré definiva la topologia come la scienza che ci fa conoscere le proprietà qualitative delle figure geometriche non solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a più di tre dimensioni.

Se a tutto questo si aggiunge la geometria dei sistemi complessi, la geometria dei frattali, la teoria del caos e tutte le immagini "matematiche" scoperte (o inventate) dai matematici negli ultimi trent'anni utilizzando la computer graphics, si comprende facilmente come la matematica abbia contribuito in modo essenziale a cambiare più volte la nostra idea di spazio, dello spazio in cui viviamo e dell'idea stessa di spazio.

Chè la matematica non è mero strumento di ricette di cucina, ma ha contribuito, quando non ha determinato, il modo che abbiamo di concepire lo spazio sulla terra e nell'universo. Manca una consapevolezza della matematica come strumento essenziale della nostra cultura. Il che spiega il grande ritardo nel comprendere e quindi far proprie idee che i matematici hanno chiarito da decenni.

In particolare nei riguardi della topologia, la scienza della trasformazioni, la scienza degli invarianti. Si veda ad esempio a New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan (fig. 2). Un progetto ancora più stimolante, ancora più topologico di quello per il Guggenheim di Bilbao.

Fig. 2. Frank O. Ghery, "Project for the New Guggenheim Museum in Manhattan", courtesy of © Keith Mendenhall for the Gehry Partners Studio

Certo il salto culturale è notevole; costruire utilizzando tecniche e materiali che consentano di realizzare la trasformazione rendendola quasi continua, una sorta di contraddizione tra la costruzione finita e la sua deformazione. E' un segno interessante che si cominci a studiare l'architettura contemporanea utilizzando anche gli strumenti che la matematica, la scienza mette a disposizione. Strumenti culturali oltre che tecnici.

Vale la pena sottolineare come la scoperta (o invenzione) delle geometrie non euclidee e delle dimensioni più alte, a partire dalla quarta, siano uno degli esempi più interessanti anche per le profonde ripercussioni che molte delle idee dei matematici avranno sulla cultura umanistica, sull'arte.

Come ogni buon viaggio bisogna tracciare un itinerario, itinerario in cui saranno presenti gli elementi che si utilizzano per dare un senso alla parola Spazio.

Il primo elemento è senza ombra di dubbio lo spazio che Euclide è venuto delineando, con le definizioni, gli assiomi, le proprietà degli oggetti che di questo spazio devono trovare posto. Spazio che sarà quello della perfezione, lo spazio Platonico. L'uomo come matrice e misura dell'universo, idea che attraversa i secoli. La matematica, la geometria che devono spiegare tutto, anche la forma degli essere viventi: Le curve della natura, titolo di un famoso libro del Novecento di Cook che certo non si immaginava quanto potesse essere vero ritrovare in forme della natura, addirittura di quelle che sono all'origine della vita, alcune curve matematiche. Dal famoso libro di D'Arcy Thompson Crescita e forma del 1914 alla teoria delle catastrofi di René Thom, alla complessità e all'effetto Lorentz ed i sistemi dinamici non lineari.

Il secondo elemento è la libertà; la matematica, la geometria sembrano essere il regno della aridità. Chi non si è occupato mai di matematica, chi non ha mai studiato con interesse la matematica a scuola, non riesce a capire la profonda emozione che può suscitare la matematica. Né costoro possono concepire che la matematica sia una attività altamente creativa. Né che sia il regno della libertà dove non solo si inventano (o scoprono) nuovi oggetti, nuove teorie, nuovi campi di attività della ricerca, ma si inventano anche i problemi. Non avendo inoltre il matematico bisogno in molti casi di ingenti risorse finanziarie, si può ben dire che la matematica è il regno della libertà e della fantasia. E certo del rigore. Del corretto ragionare.

Il terzo elemento su cui riflettere è come tutte queste idee vengono trasmesse ed assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della società. Ha scritto l'architetto Alicia Imperiale nel capitolo "Digital technologies and New Surfaces" del libro New Bidimensionalities: "Gli architetti si appropriano liberamente di metodologie specifiche di altre discipline. Ciò può essere attribuito al fatto che ampi cambiamenti culturali si verificano più velocemente in altri contesti che in architettura."[10]

Aggiunge che,

L'architettura riflette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento…… Gli architetti, cercando costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente assimilate all'interno della progettazione architettonica. Tuttavia, la traducibilità, il trasferimento di un linguaggio in un altro, rimane un problema…..Gli architetti guardano sempre più spesso ad altre discipline e ad altri processi industriali per ispirarsi, e fanno un uso sempre maggiore della progettazione al computer e di software per la produzione industriale originariamente sviluppati per altri settori.

Più avanti la Imperiale ricorda che "E' interessante notare che, nell'era dell'informazione, discipline un tempo distinte, sono legate tra loro attraverso un linguaggio universale: il codice binario digitale." Il computer risolve tutti i problemi?

Il quarto elemento è il computer, il computer grafico, la macchina logica e geometrica per eccellenza. L'idea realizzata di una macchina intelligente che sia in grado di affrontare problemi diversissimi se siamo in grado di farle comprendere il linguaggio che usiamo. L'idea geniale di un matematico, Alan Turing, [11] portata a termine sotto lo stimolo di una guerra. Una macchina costruita dall'uomo, in cui e' stata inserita una logica anche quella costruita dall'uomo, pensata dall'uomo. Uno strumento molto sofisticato, insostituibile, non solo in architettura. Uno strumento, appunto.

Il quinto elemento è il progresso, la parola progresso. Se si considerano le geometrie non euclidee, le nuove dimensioni, la topologia, la esplosione della geometria e della matematica nel ventesimo secolo, si può parlare di progresso? Delle conoscenze senz'altro, ma non nel senso che i nuovi risultati cancellano i precedenti. Usano dire i matematici che "la Matematica è come il maiale, non si butta via nulla, prima o poi anche le cose che sembra più astratte ed anche insensate possono venire utili". Scrive la Imperiale che la topologia è effettivamente parte integrante del sistema della geometria euclidea. Dove quello che è sfuggito a chi ha scritto queste parole è che cosa voglia dire la parola spazio in geometria. Parole, appunto. Dove invece il cambiare geometria serve per affrontare problemi che sono diversi perché è diversa la struttura dello spazio. Lo spazio sono le proprietà, non gli oggetti contenuti. Parole.

Il sesto elemento sono le parole. Una delle grandi capacità dell'umanità è di dare un nome alle cose. Molte volte nel "nominare" si usano parole che sono già nell'uso corrente. Questa abitudine crea alle volte dei problemi perché si ha l'impressione sentendo queste parole di capire o perlomeno orecchiare di che cosa si tratti. In matematica è successo spesso negli ultimi anni con parole come frattali, catastrofi, complessità, iperspazio. Parole simboliche, metaforiche. Anche topologia e dimensionalità e serialità fanno oramai parte del linguaggio comune, o almeno degli architetti.

Riassumendo, il viaggio si svolge tra parole, computer, assiomi, trasformazioni, parole, libertà. Una parola avrà una grande importanza in questo viaggio nell'idea di spazio: la topologia. Per gli altri aspetti rimando al libro Mathland: dalle superfici piatte alle ipersuperfici. [9]

DALLA TOPOLOGIA ALLA ARCHITETTURA VIRTUALE
"Verso la metà del XIX secolo la geometria prese uno sviluppo completamente nuovo e destinato a divenire presto una delle grandi forze della matematica moderna." Parole di Courant e Robbins nel famoso libro Che cosa è la matematica? [12] "Il nuovo argomento, detto analysis situs o topologia, ha come oggetto lo studio delle proprietà delle figure geometriche che persistono anche quando le figure sono sottoposte a deformazioni così profonde da perdere tutte le loro caratteristiche metriche e proiettive."

Poincaré definiva la topologia come la scienza che ci fa conoscere le proprietà qualitative delle figure geometriche non solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a più di tre dimensioni. La topologia dunque ha come oggetto lo studio delle proprietà delle figure geometriche che, sottoposte a deformazioni così profonde da perdere tutte le loro proprietà metriche e proiettive, per esempio la forma e le dimensioni, tuttavia restano invariate. Le figure geometriche mantengono cioè le loro proprietà qualitative. Si pensi a figure costruite con materiale deformabile ad arbitrio su cui non siano possibili né lacerazioni né saldature; vi sono proprietà che si conservano quando una figura così costruita viene deformata a piacere.

Nel 1858 il matematico ed astronomo tedesco August Ferdinand Moebius (1790-1868] descrisse per la prima volta in un lavoro presentato alla Accademia delle Scienze di Parigi una nuova superficie dello spazio tridimensionale, superficie che oggi è nota con il nome di Nastro di Moebius. Questa nuova superficie ha interessanti proprietà. Una consiste nel fatto che se la si percorre lungo l'asse più lungo con un dito, ci si accorge che la si percorre tutta ritornando esattamente al punto di partenza, senza dover attraversare il bordo della striscia; il nastro di Moebius ha cioè una sola faccia, non due, una esterna ed una interna come per esempio nel caso di una superficie cilindrica. Mentre nel caso della superficie cilindrica, se si percorre con un dito il bordo superiore non si arriverà mai al bordo inferiore, nel caso del nastro di Moebius partendo da un punto qualsiasi del bordo lo si percorre tutto ritornando al punto di partenza, si ha cioè un solo bordo. Tutto questo ha importanti conseguenze dal punto di vista topologico; tra l'altro, la striscia di Moebius è il primo esempio di superficie su cui non è possibile fissare una orientazione, cioè un verso di percorrenza.

Scrivono ancora Courant e Robbins:

Dapprima, la novità dei metodi usati nel nuovo campo non diede modo ai matematici di presentare i loro risultati nella forma deduttiva tradizionale della geometria elementare: invece i pionieri, come Poincaré, furono costretti a basarsi largamente sull'intuizione geometrica. Anche oggi (il libro di Courant e Robbins è del 1941] uno studioso di Topologia troverà che insistendo troppo nel rigore formale dell'esposizione si può facilmente perdere di vista il contenuto geometrico essenziale di una quantità di particolari formali.

La parola chiave è intuizione geometrica. Ovviamente i matematici nel corso degli anni hanno provveduto a portare la Topologia nell'ambito della matematica più rigorosa, ma quell'aspetto d'intuizione è rimasto. E proprio questi due aspetti, quello delle deformazioni che pur conservano alcune proprietà della figura geometrica, e quella della intuizione, giocano un ruolo profondo della idea di spazio e di forma che a partire dal secolo XIX arriva sino ai giorni nostri. Alcune delle idee della Topologia saranno intuite dagli artisti e dagli architetti nel corso dei decenni, prima dagli artisti, poi molto più tardi dagli architetti. Val la pena raccontare la storia della scoperta di una forma Topologica da parte di un grande artista del Novecento. Una forma che, quando l'artista la scoprì, esisteva già nel mondo delle idee matematiche. Si tratta del grande artista e architetto del Novecento Max Bill, scomparso nel 1994 (fig. 3).

Fig. 3. Max Bill in his Zürich studio (1981) . From the film "The Moebius Band", ©M. Emmer

Così scriveva Bill raccontando nell' articolo Come cominciai a fare le superfici a faccia unica in quale occasione scoprì le superfici di Moebius (Bill ha chiamato le sue sculture dalla forma di nastri di Moebius Endless Ribbons, nastri senza fine]:

Marcel Breuer, il mio vecchio amico della Bauhaus, è il vero responsabile delle mie sculture a faccia unica. Ecco come accadde: fu nel 1935 a Zurigo dove, insieme a Emil e Alfred Roth stava costruendo le case di Doldertal che ai loro tempi ebbero grande seguito. Un giorno Marcel mi disse di aver ricevuto l'incarico di costruire, per una mostra a Londra, un modello di casa dove tutto, persino il caminetto, doveva essere elettrico. Ci era ben chiaro che un caminetto elettrico che splende ma non ha fuoco non è un oggetto dei più attraenti. Marcel mi chiese se mi sarebbe piaciuto fare una scultura da metterci sopra. Cominciai a cercare una soluzione, una struttura che si potesse appendere sopra ad un caminetto e che magari girasse nella corrente d'aria ascendente e, grazie alla sua forma e al movimento, agisse come sostituto delle fiamme. L'arte invece del fuoco! Dopo lunghi esperimenti, trovai una soluzione che mi sembrava ragionevole. [13]

La cosa interessante da notare è che Bill pensava di aver trovato una forma completamente nuova. Fatto ancora più curioso, l'aveva trovata (inventata?) giocando con una striscia di carta, nello stesso modo in cui Moebius l'aveva scoperta molti anni prima!:

Non passò molto tempo che qualcuno si congratulò con me per la mia reinterpretazione fresca ed originale del simbolo egiziano dell'infinito e del nastro di Moebius. Non avevo mai sentito nominare né l'uno né l'altro. La mia conoscenza matematica non era mai andata al di là dei comuni calcoli architettonici e non avevo un grande interesse per la matematica." Il Nastro senza fine venne presentato per la prima volta alla Triennale di Milano nel 1936.

Scriveva Bill:

Già fin dagli anni '40 pensavo ai problemi di topologia. Da essi sviluppai una specie di logica della forma. Le ragioni per cui venivo continuamente attratto da questo tema particolare sono due: 1) l'idea di una superficie infinita - che è tuttavia finita - l'idea di un infinito finito; 2) la possibilità di sviluppare superfici che - come conseguenza delle leggi intrinseche sottese - portino quasi inevitabilmente a formazioni che provano l'esistenza della realtà estetica. Ma sia 1) che 2) indicavano anche un'altra direzione. Se le strutture topologiche non orientate esistessero solo in virtù della loro realtà estetica, allora, nonostante la loro esattezza, non avrei potuto esserne soddisfatto. Sono convinto che il fondamento della loro efficacia stia in parte nel loro valore simbolico. Esse sono modelli per la riflessione e la contemplazione.

Si può dire che come nel caso della quarta Dimensione l'oggetto che ha più colpito l'immaginazione è stato l'ipercubo, o cubo a quattro dimensioni, nel caso della Topologia questo ruolo lo ha avuto il nastro di Moebius. Queste forme che hanno tanto interessato Max Bill negli anni trenta non potevano non interessare gli architetti, anche se passeranno alcuni anni; bisogna arrivare alla diffusione della computer graphics che consente di visualizzare gli oggetti matematici di cui si è parlato, che permette cioè di supportare la intuizione che altrimenti, per chi matematico non è, riesce difficile da manipolare.

Ecco cosa scrive Alicia Imperiale nel capitolo Topological Surfaces :

Gli architetti Ben van Berkel e Caroline Bos di UN Studio discutono l'impatto sull'architettura delle nuove scoperte scientifiche. Le scoperte scientifiche hanno radicalmente cambiato la definizione del termine 'Spazio' attribuendogli una forma topologica. Anziché come modello statico di elementi costitutivi, si percepisce lo spazio come qualcosa di malleabile, mutevole, e la sua organizzazione, la sua ripartizione, la sua appropriazione diventano elastiche.[10]

Ecco il ruolo che la Topologia, così come lo vede un architetto:

Lo topologia è lo studio del comportamento di una struttura di superficie sottoposta a deformazione. La superficie registra i cambiamenti degli slittamenti spazio-temporali differenziali in una deformazione continua. Ciò comporta ulteriori potenzialità per la deformazione architettonica. La deformazione continua di una superficie può condurre all'intersezioni di piani esterni e interni in un continuo mutamento morfologico, esattamente come nel nastro di Moebius. Gli architetti usano questa forma topologica nel progetto di casa, inserendo campi differenziali di spazio e tempo in una struttura altrimenti statica.

Naturalmente anche alcune parole ed idee nel passare dall'ambito strettamente scientifico a quello artistico e architettonico sono deformate, vista da un'ottica diversa. Ma questo non è affatto un problema né vuole essere una critica. Sono le idee che circolano liberamente ed ognuno le interpreta a suo modo cercando di coglierne, come la topologia, la essenza. E' essenziale in tutto questo il ruolo della computer graphics che permette di inserire quella variabile di deformazione-tempo che sarebbe altrimenti impensabile oltre che irrealizzabile.

Continua la Imperiale a proposito del nastro di Moebius:

La casa di Van Berkel ispirata al nastro di Moebius (Moebius House) è pensata come una struttura programmaticamente continua, che integra il continuo mutamento di coppie dialettiche scorrevoli che fluiscono l'una nell'altra, dall'interno all'esterno, dalle attività di lavoro a quelle del tempo libero, dalla struttura portante alla struttura non portante.

Fig. 4. Möbius House by © Ben van Berkel (UN Studio/van Berkel & Bos), 1993-1997

La bottiglia di Klein, altra famosa forma topologica, scrive Van Berkel, "può essere tradotta in un sistema di canalizzante che incorpora tutti gli elementi che incontra e li fa precipitare in un nuovo tipo di organizzazione integrale internamente connessa"; da notare che le parole integrale, internamente connessa hanno in matematica un preciso. Ma non è questo un problema perché

...i diagrammi di queste superfici topologiche non vengono usati in architettura in una maniera rigorosamente matematica, ma costituiscono diagrammi astratti, modelli tridimensionali che consentono agli architetti di incorporare nell'architettura idee di spazio e tempo differenziati.

Cose analoghe aveva scritto nel 1949 Max Bill a proposito dei legami tra arte, forma e matematica: "Per approccio matematico non si deve intendere ciò che generalmente si chiama arte calcolata. Fino ad ora tutte le manifestazioni artistiche si sono fondate, in minor o maggior misura, su divisioni e strutture geometriche."[13]

Anche nell'arte moderna gli artisti si sono serviti di metodi regolatori basati sul calcolo dato che questi elementi, accanto a quelli di carattere più personale ed emozionale, hanno fornito equilibrio ed armonia ad ogni opera plastica. Tali metodi erano però diventati sempre più superficiali, secondo Bill, dato che, a parte l'eccezione della teoria della prospettiva, il repertorio di metodi utilizzati dagli artisti si arrestava all'epoca dell'antico Egitto. Il fatto nuovo avviene agli inizi del XX secolo:"Il punto di partenza per una nuova concezione è dovuto probabilmente a Kandinsky, che nel suo libro "Ueber das Geistige in der Kunst" pose nel 1912 le premesse di un'arte nella quale l'immaginazione dell'artista sarebbe stata sostituita dalla concezione matematica." E' poi Mondrian ad allontanarsi più di ogni altro dalla concezione tradizionale dell'arte. Scriveva Mondrian:

Il neoplasticismo ha le sue radici nel cubismo. Può essere chiamato anche pittura astratto-reale perchè l'astratto (come le scienze matematiche ma senza raggiungere come loro l'assoluto) può essere espresso da una realtà plastica nella pittura. Essa è una composizione di piani rettangolari colorati che esprime la realtà più profonda, cui perviene attraverso l'espressione plastica dei rapporti e non attraverso l'apparenza naturale. .... La nuova plastica pone i suoi problemi in equilibrio estetico ed esprime in tal modo la nuova armonia.

E' opinione di Bill che Mondrian abbia esaurito le ultimi possibilità che restavano alla pittura:

Io credo che è possibile sviluppare largamente un'arte basata su una concezione matematica…La matematica non è soltanto uno dei mezzi essenziali del pensiero primario, e quindi, uno dei ricorsi necessari per la conoscenza della realtà circostante, ma anche, nei suoi elementi fondamentali, una scienza delle proporzioni, del comportamento da oggetto ad oggetto, da gruppo a gruppo, da movimento a movimento. E poiché questa scienza ha in sé questi elementi fondamentali e li mette in relazione significativa, è naturale che simili fatti possano essere rappresentati, trasformati in immagini.

Inoltre queste rappresentazioni matematiche, questi casi limite in cui la matematica si manifesta plasticamente, hanno indiscutibilmente un effetto estetico, aggiunge Bill. Ed ecco la definizione di che cosa deve essere una concezione matematica dell'arte:"La concezione matematica dell'arte non è la matematica nel senso stretto del termine, e si potrebbe anche dire che sarebbe difficile per questo metodo servirsi di ciò che si intende per matematica esatta. E' piuttosto una configurazione di ritmi e relazioni, di leggi che hanno una origine individuale allo stesso modo in cui la matematica ha i suoi elementi innovatori originari nel pensiero dei suoi innovatori ". Per convincere Bill ha la necessità di fornire degli esempi, esempi che siano interessanti dal suo punto di vista di artista, esempi cioè di quelli che chiama i misteri della problematica matematica come "l'ineffabile dello spazio, l'allontanamento o la vicinanza dell'infinito, la sorpresa di uno spazio che incomincia da una parte e termina dall'altra, che è contemporaneamente la stessa, la delimitazione senza limiti esatti, le parallele che si intersecano e l'infinità che ritorna a se stessa." Il nastro di Moebius, ovviamente.

Come detto se pur con qualche ritardo gli architetti si sono accorti delle nuove scoperte scientifiche nel campo della Topologia. Ed hanno oltre che iniziato a progettare e costruire iniziato a riflettere.

Nel 1999 nella tesi di dottorato "Architettura e Topologia: per una teoria spaziale della architettura" Giuseppa Di Cristina scrive [14]: "La conquista finale dell'architettura è lo spazio: questo viene generato attraverso una sorta di logica posizionale degli elementi, cioè attraverso la disposizione che genera le relazioni spaziali; il valore formale viene così sostituito dal valore spaziale della configurazione: ciò che importa non è tanto l'aspetto della forma esteriore, quanto la sua qualità spaziale. E dunque la geometria topologica, priva di 'misure' e propria delle figure non rigide, non è qualcosa di puramente astratto che sta prima dell'architettura, ma è la traccia lasciata da quella modalità d'azione nella concretizzazione spaziale dell'architettura".

E' stato pubblicato nel 2001 un volume sul tema "Architecture and Science". [15] Nella prefazione di Di Cristina "The Topological tendency in Architecture" si chiarisce che,

Gli articoli raccolti in questo volume riguardano direttamente o indirettamente l'approccio topologico che si è andato sempre più sviluppando in architettura durante l'ultimo decennio. Testimoniano l'intreccio tra la neoavanguardia architettonica ed il pensiero scientifico matematico, in particolare quello topologico; sebbene non sia stata ancora formulata una teoria vera e propria dell'architettura topologica, tuttavia si può parlare di una tendenza topologica da parte degli architetti a livello sia teorico che operativo. … In particolare gli sviluppi della geometria o matematica moderna, della psicologia percettiva e della grafica computerizzata influiscono sull'attuale rinnovamento formale dell'architettura e sull'evoluzione del pensiero architettonico. … Ciò che maggiormente interessa gli architetti che teorizzano la logica della curvilineità e della pieghevolezza è il significato di 'evento', di 'evoluzione', di 'processo', ovvero di dinamismo insito nelle configurazioni fluide e flessibili di quella che viene oramai chiamata architettura topologica. Per topologia architettonica si intende la variazione dinamica della forma, agevolata dalle tecnologie informatiche, dalla progettazione assistita dal computer, dai software di animazione. La topologizzazione della forma architettonica secondo configurazioni dinamiche e, complesse conduce il disegno architettonico ad una rinnovata e spesso spettacolare plasticità, sulla scia del Barocco e dell'Espressionismo organico.

Ecco cosa intende per Architectural Topology Stephen Perrella, uno degli architetti virtuali più interessanti:

La topologia architettonica è la mutazione della forma, della struttura, del contesto e del programma in modelli compositi e dinamiche complesse. Negli ultimi anni, si è sviluppata una sensibilità progettuale grazie alla quale le superfici architettoniche e gli elementi topologizzanti della forma vengono esplorati in maniera sistematica e inclusi in diversi programmi architettonici. Influenzato dalla intriseca temporalità dei software di animazione, dalla augmented reality, della produzione industriale computerizzata, e, in generale, dell'informatica, lo 'spazio' topologico differisce da quello cartesiano perché in esso gli eventi temporali diventano parte integrante della forma. Lo spazio, dunque, non è più un vuoto al cui interno sono contenuti soggetti e oggetti; lo spazio, invece, si trasforma in una fitta ed interconnessa rete di particolarità e singolarità che si potrebbe definire 'materia' o 'spazio pieno'. Questo legame comporta anche, in maniera più specifica, un pervasivo dispiegarsi di teletecnologia nella pratica progettuale, fatto che porta a un'indebita appropriazione del reale ed ad un'involontaria dipendenza dalla simulazione.

Fig. 5. S. Perrella and R. Carpenter, "The Möbius House Study", © Perrella, Carpenter 1997-1998

Osservazioni in cui confluiscono idee sulla geometria, sulla topologia, sulla computer graphics, sullo spazio-tempo. I nessi culturali nel corso degli anni hanno funzionato: nuove parole, nuovi significati, nuovi legami.

OSSERVAZIONI FINALI
Ho cercato di raccontare alcuni momenti importanti che hanno portato ad un mutamento nella nostra concezione di percepire lo spazio, cercando di far cogliere oltre agli aspetti tecnici e formali che pure sono essenziali nella matematica, l'aspetto culturale parlando dell'idea di spazio in relazione ad alcuni aspetti dell'architettura contemporanea. Vorrei solo ricordare due parole che hanno una grande importanza: fantasia e libertà. Sono forse queste le due parole magiche che hanno permesso all'architettura contemporanea di arricchire di molto il patrimonio progettuale. Fantasia e libertà che derivano dal confluire nel corso degli anni di tanti elementi: la logica dei computer, le nuove geometrie, la topologia, la computer graphics. Perché anche se in pochi se ne rendono conto, la matematica è, o può essere, ripeto, il regno della fantasia e della libertà.
Senza tutto questo sarebbe stato impensabile il progetto del museo del mondo Ellenico. Una cultura iniziata in quei luoghi migliaia di anni fa e che negli stessi luoghi viene celebrata con una costruzione altamente simbolica della storia della cultura del Mediterraneo.
Sarebbe insensato non raccontare questo aspetto fondamentale dei legami tra matematica, cultura ed architettura agli studenti di architettura nei corsi universitari. A quelli che saranno i futuri architetti, responsabili dello spazio in cui vivranno le generazioni del domani.

BIBLIOGRAFIA

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M. Emmer, Arte e matematica, 20 video realizzati con artisti di tutto il mondo.

ABOUT THE AUTHOR
Michele Emmer, born in Milan September 15, 1945, is full professor of mathematics at the University of Rome. He was previously professor at the University of Ferrara, Trento, Viterbo, L'Aquila, Sassari, Venice and visiting professor, among others, at Princeton, Paris Orsay, Campinas, Barcelona and in several Japanese Universities. His area of activity were PDE and minimal surfaces, computer graphics, mathematics and arts, mathematics and culture, films and videos.
He received in 1998 the "Galileo" award from the Italian Math Association for best popularization of Mathematics. In 2004 he received the "Pitagora" award.
He was president for three years of the Italian associations for scientific media, part of the European association "Media in Science". Member of the American Mathematical Society, of the American Ass. For Aesthetics, of the European Math ass., ISAMA (art and Math ass), ISAST, etc.
President of the electronic scientific journal "Galileo" (http://www.galileo.webzone.it); - collaborator in the last twenty years of the cultural and scientific pages of the newspaper "L'Unità" and other magazines; Diario, Telema, Sapere, Scientific American (it. ed.), Alliage (in French), FMR. Member of the board of the Journal Leonardo: Art, Science and Technology, MIT Press.
Filmmaker, almost all his movies in the series "Art and Math" have been broadcasted by the State Italian television and other television; all the videos are distributed in many countries in the various version (English, French, Spanish, Italian, Japanese).
He has organized several exhibitions and conferences on the topic of Art and Mathematics" including the annual conference on "Mathematics and Culture" at the University of Venice; http://www.mat.uniroma1.it/venezia2005; the exhibitions and conferences on M.C. Escher (1985 and 1998) at the University of Rome; the section on Space at the Biennale of Venice (1986), the travelling exhibition "The Eye of Horus" (Rome, Bologna, Milan, Parma (1989); he was responsible for the Exhibition and congress on "Math & art", Bologna, 2000.
Editor of the series "Mathematics and Culture" by Springer-verlag; the series "The Visual Mind" by MIT press; video series "Video math" by Springer-verlag.
He has been responsible for math section for the Science Center in Naples and for many other travelling exhibitions on math.

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