ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
1995, ТОМ 1, ВЫПУСК 4, СТР. 1009-1018

Об асимптотическом поведении одного класса случайных матричных итераций

А.Ю.Плахов
Институт физико-технических проблем РАН

УДК 519.21.219.5

В статье рассматриваются итерации $J_{m+1} = J_m - \varepsilon J_m L_{S_m} J_m$, m = 0, 1, 2,...; $\varepsilon > 0$, где J_m и L_Sm - самосопряженные операторы в $\mathbb{R}^N$, $L_{S_m} = (\cdot, S_m) S_m$, векторы S_m случайны, независимы, одинаково распределены и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Начальный оператор J₀ неслучаен. Исследуется асимптотическое поведение оператора $\tilde{J}_m = \| J_m \|^{-1} J_m$. Задачи такого типа возникают при моделировании быстрого сна в теории нейронных сетей. Доказано, что почти наверное справедливо одно из трех соотношений: I. $\lim_{m\to\infty} \tilde{J}_m = P_{\mathcal{L}}$; II. $\lim_{m\to\infty} \tilde{J}_m = -P_{\xi}$; III. J_m = 0, начиная с некоторого m₀, где $P_{\mathcal{L}}$ и $P_{\xi}$ - ортогональные проекторы соответственно на случайное подпространство $\mathcal{L} \subset \mathbb{R}^N$ и на одномерное подпространство, натянутое на случайный ненулевой вектор $\xi$. Обозначим $P_+(\varepsilon)$ и $P_-(\varepsilon)$ вероятности асимптотик I и II. В случае ненулевого неотрицательно определенного J₀ показано, что $\lim_{\varepsilon \to +0} P_+(\varepsilon) = 1$, $\lim_{\varepsilon \to +\infty} P_-(\varepsilon) = 1$; если же J₀ имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение, то $P_-(\varepsilon) \equiv 1$.

Постскрипт статьи (52Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/95/954/95411.htm
Изменения вносились 23 июня 1997 г.