E-mail. chellali@sciences.univ-oujda.ac.ma fliouet@yahoo.fr
Abstract.
Dans \cite{Swe}, Sweedler a caract\'{e}ris\'{e} les extensions
purement ins\'{e}parables $K/k$ d'exposant fini qui sont produit tensoriel
d'extensions simples. En vue d'\'{e}tendre ce r\'{e}sultat aux extensions
d'exposants non born\'{e}s, L.~Kime dans \cite{Kim} propose les extensions
$k(x^{p^{-\infty}})=k(x^{p^{-1}},x^{p^{-2}},\dots)$ comme g\'{e}n\'{e}ralisation
d'extensions simples. Dans ce travail, on propose d'autres g\'{e}n\'{e}ralisations
naturelles. Ceci nous a permis de d\'{e}crire explicitement toutes les
extensions purement ins\'{e}parables $K/k$ lorsque le degr\'{e} d'imperfection
de $k$ est $\leq 2$. Dans \cite{Dev2} J.~K.~Deveney a construit une
extensionpurement ins\'{e}parable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions
propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^{p^{-n}}\cap
K,k]=p^{2n}$ ($p$ \'{e}tant la caract\'{e}ristique de $k$). Cet exemple
s'est av\'{e}r\'{e} fort utile pour notre travail. On construit pour tout
entier $j$ une extension purement ins\'{e}parable $K/k$ infinie ayant toutes
ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier
$n$, $[k^{p^{-n}}\cap K,k]=p^{jn}$. Soit $K/k$ une extension purement ins\'{e}parable,
$M/k$ la plus petite sous-extension de $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire,
on montre que si le degr\'{e} d'imperfection de $k$ est fini, alors $M$
est non triviale $(M\neq K)$; si le degr\'{e} d'imperfection de $k$ est
infini on donne un contre-exemple o\`{u} $M=K$.
AMSclassification. 12F15
Keywords. Corps parfait, degre d'imperfection, degre d'irrationalite,
exposant, extension simple, modulaire, purement inseparable, relativement
parfaite.